Пример журнала: Пример заполнения журнала учета розничных продаж — ГКУ РО «Ростсистема»

. Например, 2 ³  = 8; следовательно, 3 — это логарифм 8 по основанию 2, или 3 = log ₂  8. Таким же образом, поскольку 10 ²  = 100, то 2 = log ₁₀  100. Логарифмы последнего вида (что логарифмы с основанием 10) называются обычными или бриггсовскими логарифмами и записываются просто log п .

Логарифмы, изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел. Они были основными в численной работе более 300 лет, пока совершенствование механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделало их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2,71828 и записанный как ln n ), однако, продолжает оставаться одной из самых полезных функций в математике, с приложениями к математическим моделям во всех физических и биологических науках.

Свойства логарифмов

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, которые упрощали долгие и утомительные вычисления. В частности, ученые могли найти произведение двух чисел m и n , просматривая логарифм каждого числа в специальной таблице, складывая логарифмы вместе, а затем снова обращаясь к таблице, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известным как его антилогарифм). Выраженная в виде десятичных логарифмов, эта связь определяется как log m n  = log m  + log  n . Например, 100 × 1000 можно вычислить, найдя логарифмы 100 (2) и 1000 (3), сложив логарифмы (5), а затем найдя антилогарифм (100 000) в таблице. Точно так же задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log

m / n = log m − log n . Это еще не все; вычисление степеней и корней можно упростить с помощью логарифмов. Логарифмы также можно преобразовывать между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 нельзя использовать в качестве основания, поскольку все его степени равны 1), как показано в Щелкните здесь, чтобы увидеть полноразмерную таблицу логарифмических законов.

Обычно в таблицы логарифмов включались только логарифмы чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа за пределами этого диапазона, число сначала было записано в научной записи как произведение его значащих цифр и его экспоненциальной степени — например, 358 будет записано как 3,58 × 10 ² , а 0,0046 будет можно записать как 4,6 × 10 ⁻³ . Затем в таблице можно было найти логарифм значащих цифр — десятичную дробь от 0 до 1, известную как мантисса. Например, чтобы найти логарифм числа 358, нужно найти log 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. В примере числа с отрицательным показателем степени, например 0,0046, можно найти log 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

История логарифмов

Изобретение логарифмов было предвосхищено сравнением арифметических и геометрических последовательностей. В геометрической последовательности каждый член образует постоянное отношение со своим последующим; Например, …1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет обыкновенное отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как общая разность; Например, …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет общую разность, равную 1. Обратите внимание, что геометрическую последовательность можно записать в терминах ее общего отношения; для приведенного выше примера геометрической последовательности: …10

−3 , 10 ⁻² , 10 ⁻¹ , 10 ⁰ , 10 ¹ , 10 ² , 10 ^{3 …} . Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равносильно сложению соответствующих показателей степени обыкновенного отношения, -1 и 2, чтобы получить 10 ¹  = 10. Таким образом, умножение превращается в сложение. Однако первоначальное сравнение двух серий не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи; это была более поздняя разработка. В 1620 г. швейцарский математик Йост Бюрги опубликовал в Праге первую таблицу, основанную на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Нейпир опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его цель состояла в том, чтобы помочь в умножении величин, которые тогда назывались синусами. Весь синус был величиной стороны прямоугольного треугольника с большой гипотенузой. (Первоначальная гипотенуза Непера была 10

7 .) Его определение было дано в терминах относительных скоростей.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Таким образом, логарифм любого синуса представляет собой число, очень точно выражающее линию, которая одинаково увеличивалась в течение определенного времени, в то время как линия всего синуса пропорционально уменьшалась в этом синусе, причем оба движения были равновременны и начало смещалось одинаково.

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бриггсом Нейпир привел свой логарифм в его современную форму. Для логарифма Напера сравнение будет между точками, движущимися по градуированной прямой линии, L точка (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, X точка (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорости в этой точке равны. Суть открытия Непера состоит в том, что оно представляет собой обобщение отношения между арифметическим и геометрическим рядами; т. е. умножение и возведение в степень значений 9Точка 0023 X соответствует сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничить движение L и X требованием, чтобы L  = 1 при X  = 10 в дополнение к условию, что X  = 1 при L  = 0. Это изменение привело к бриггсовскому или десятичному логарифму.

Нейпир умер в 1617 году, и Бриггс продолжил работу в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанных до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 9.от 0 000 до 100 000. В 1628 году голландский издатель Адриан Влак опубликовал 10-местную таблицу для значений от 1 до 100 000, добавив недостающие 70 000 значений. И Бриггс, и Влак занимались созданием логарифмических тригонометрических таблиц. Такие ранние таблицы были либо с точностью до одной сотой градуса, либо с точностью до одной угловой минуты. В 18 веке таблицы были опубликованы для 10-секундных интервалов, которые были удобны для таблиц с семью десятичными знаками. В общем случае требуются более тонкие интервалы для вычисления логарифмических функций меньших чисел, например, при вычислении функций log sin x и логарифмический тангенс x .

Наличие логарифмов сильно повлияло на форму плоской и сферической тригонометрии. Процедуры тригонометрии были переработаны для получения формул, в которых операции, зависящие от логарифмов, выполняются одновременно. Тогда обращение к таблицам состояло всего из двух шагов: получения логарифмов и, после выполнения вычислений с логарифмами, получения антилогарифмов.

Логарифм (Журналы) — Примеры | Натуральное бревно и обыкновенное бревно

Логарифмы — это еще один способ записи показателей степени. Мы знаем, что 2 ⁵ = 32. Но если нас попросят найти, какое число заменяет знак вопроса в 2 ^? = 32, то методом проб и ошибок мы можем просто найти, что ответ равен 5. Но что, если нас попросят найти вопросительный знак в 2 ^? = 30? Существует ли такое число, что при возведении к нему 2 будет 30? Нет, тогда как решить? Решение — логарифмы (или журналы).

Давайте узнаем больше о логарифмах и их свойствах на примерах.

Что такое логарифм?

Логарифм — это не что иное, как другой способ выражения показателей степени, и его можно использовать для решения задач, которые нельзя решить, используя только понятие показателей степени. Разобраться в логах не так уж и сложно. Чтобы понимать логарифмы, достаточно знать, что логарифмическое уравнение — это просто еще один способ записи показательного уравнения.

Логарифм и показатель степени являются обратными формами друг друга. Это можно понять из раздела ниже. Первоначально математик по имени Джон Нейпир ввел логарифмы для упрощения расчетов, и эта концепция быстро была принята другими учеными, инженерами и т. д.

Вот математическое определение бревен.

Определение журналов

Логарифм определяется с помощью показателя степени.

• б ^х = а ⇔ log _б а = х

Здесь «log» означает логарифм. Правая часть стрелки читается как «Логарифм а по основанию b равен х».

Очень простой способ запомнить это: «база остается базой в обеих формах» и «база не остается с показателем степени в логарифмической форме». Обратите внимание, что «b» является основанием как в левой, так и в правой частях подразумеваемого символа, а в логарифмической форме видно, что основание b и показатель степени x не остаются на одной стороне уравнения.

Здесь

• a и b — два положительных действительных числа.
• х — действительное число.
• а, который внутри лога называется «аргумент».
• б, который внизу журнала называется «база».

В приведенном выше уравнении нужно понять две вещи (из символа ⇔):

• b ^x = a ⇒ log _b a = x. Это называется «экспоненциальной формой в логарифмическую форму»
• log _б а = х ⇒ б ^х = а . Это называется «переведение в экспоненциальную форму»

Вот таблица для понимания преобразований из одной формы в другую.

Натуральное бревно и обыкновенное бревно

Обратите внимание на две последние строки приведенной выше таблицы. У них лог _e и журнал ₁₀ . Эти два журнала имеют особое значение и определенные имена в логарифмах.

• бревно _e называется натуральным бревном
• журнал ₁₀ называется общим журналом

Давайте узнаем больше о каждом из них.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм есть не что иное, как логарифм с основанием e. То есть натуральный журнал означает log _e . Но обычно он не представляется как log _{e 9.0042 . Вместо этого он представлен как пер. т. е.}

• log _e = ln

Примеры:

• e ^x = 2 ⇒ log _e 2 = x (или) ln 2 = x.
• e ^x = 7 ⇒ log _e 7 = x (или) ln 7 = x.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — это не что иное, как логарифм с основанием 10. То есть десятичный логарифм означает log ₁₀ . Но обычно вместо записи log 9 достаточно написать «log».0039 10 . т. е.

• логарифм ₁₀ = логарифм

т.е. если нет базы для лога значит его лог ₁₀ . Другими словами, это десятичный логарифм.

Примеры:

• 10 ² = 100 ⇒ log ₁₀ 100 = 2 (или) log 100 = 2
• 10 ^-2 = 0,01 ⇒ log ₁₀ 0,01 = -2 (или) log 0,01 = -2

Обратите внимание, что в этих примерах мы не написали 10 в качестве основы, потому что это очевидно.

Правила журналов

Правила журналов используются для упрощения логарифма, расширения логарифма или сжатия группы логарифмов в один логарифм. Вот правила (или) свойства журналов. Если вы хотите увидеть, как выводятся все эти правила, нажмите здесь.

Давайте рассмотрим каждое из этих правил одно за другим.

Log 1

Значение log 1 независимо от основания равно 0. Поскольку из свойств показателей мы знаем, что ⁰ = 1 для любого «а». Преобразовав это в логарифмическую форму, запишите _a 1 = 0 для любого «а». Очевидно, что при a = 10 log ₁₀ 1 = 0 (или) просто log 1 = 0.

Если мы расширим это до натурального логарифма, то получим, поскольку e ⁰ = 1 ⇒ ln 1 = 0

Log

Поскольку a ¹ = a, для любого «a», преобразуя это уравнение в логарифмическую форму, log _a a = 1. Таким образом, логарифм любого числа к одному и тому же основание всегда равно 1. Например:

• журнал ₂ 2 = 1
• журнал ₃ 3 = 1
• журнал 10 = 1
• лн е = 1

Логарифм произведения

Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов отдельных чисел, т. е.

Обратите внимание, что основания всех журналов здесь должны быть одинаковыми. Это напоминает / получено из правила произведения показателей степени: x ^м ⋅ х ⁿ = х ^м+n .

Примеры:

• log 6 = log (3 x 2) = log 3 + log 2
• журнал (5x) = журнал 5 + журнал x

Правило частного логарифма

Логарифм частного двух чисел представляет собой разность между логарифмами отдельных чисел, т. е. _а п

Обратите внимание, что основания всех журналов здесь также должны быть одинаковыми. Это напоминает / получено из частного правила показателей степени: x ^м / х ^н = х ^м-н .

Примеры:

• лог. 4 = лог. (8/2) = лог. 8 — лог. 2
• лог (х/2) = лог х — лог 2

Степенное правило логарифма

Показатель степени аргумента логарифма может быть поставлен перед логарифмом, т. е.

• log _a m ⁿ = n log 22 m a

Здесь основания должны быть одинаковыми с обеих сторон. Это напоминает / происходит из правила степени степени показателей: (x ^м ) ^н = х ^мн .

Правило изменения основания

С помощью этого свойства можно изменить основание логарифма. Он говорит:

• log _b a = (log꜀ a) / (log꜀ b)

Другой способ записи этого правила: log _b a · log꜀ b = log꜀ a.

Используя это свойство, мы можем изменить основание на любое другое число. Следовательно, мы также можем изменить основание на 10. Тогда получаем: лог _b a = (log a) / (log b). Таким образом:

• log ₂ 3 = (log 3) / (log 2)
• журнал ₃ 2 = (лог 2) / (лог 3)

Правило равенства логарифмов

Это правило используется при решении уравнений с логарифмами. т. е.

• log _b a = log _b c ⇒ a = c

Это своего рода журнал отмены с обеих сторон.

Число поднято до свойства журнала

Когда число возводится в логарифм, основание которого совпадает с числом, тогда результатом является просто аргумент логарифма. т. е.

• a ^{log _a x} = x

Вот несколько примеров этого свойства.

• 2 ^{журнал ₂ 5} = 5
• 10 ^{журнал 6} = 6
• е ^{пер. 3} = 3

Свойство отрицательного журнала

Негативные журналы имеют форму -log _б а. Мы можем вычислить это, используя правило степени логарифмов.

−log _b a = log _b a ^-1 = log _b (1/a)

Thus,

• −log _b a = log _b (1/ а)

т. е., чтобы преобразовать отрицательный журнал в положительный, мы можем просто взять обратное значение аргумента. Кроме того, чтобы преобразовать отрицательный логарифм в положительный логарифм, мы можем взять обратное основание, то есть

• −log _b a = log _1/b a

Как сжимать/расширять логарифмы?

Мы можем либо сжать группу журналов в один журнал, либо развернуть один журнал в группу журналов, используя приведенные выше правила журналов. Но важные правила, которые мы используем в этом процессе, следующие:

• log _a mn = log _a m + log _a n (правило произведения логарифмов)
• log _a m/n = log _a m — log _a n (частное правило логарифмов)
• log _a m ⁿ = n log _a m (Степенное правило логарифмов)

Расширение логарифмов

Расширим логарифм (3x ² y ³ ).

журнал (3x ² и ³ )
= log (3) + log (x ² ) + log (y ³ ) (по правилу произведения)
= log 3 + 2 log x + 3 log y (по степенному правилу)

Сокращение логарифмов

Давайте просто возьмем приведенную выше сумму логарифмов и сократим ее. Мы должны вернуть лог (3x ² y ³ ).

лог. 3 + 2 лог. x + 3 лог. у
= log (3) + log (x ² ) + log (y ³ ) (по степенному правилу)
= log (3x ² y ³ ) (По правилу произведения)

Важные примечания по логарифмам:

• Логарифм 0 НЕ определяется, так как одно число, возведенное в другое число, никогда не дает 0 в результате.
• Показательное уравнение преобразуется в логарифмическое уравнение и наоборот, используя b ^x = a ⇔ log _b a = x.
• Обыкновенный логарифм — это логарифм по основанию 10, т. е. логарифм ₁₀ = логарифм.
• Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, т. е. log _e = ln.
• Логарифмы используются для самых сложных вычислений умножения и деления.

☛ Похожие темы:

• Общий калькулятор журнала
• Калькулятор естественного бревна

Часто задаваемые вопросы о логарифмах

Что такое журналы в математике?

Журналы — это другой способ записи показателя степени. Формула преобразования экспоненциальной формы в логарифмическую: b ^x = a ⇔ log _b a = x. Логарифмы очень полезны при решении уравнений с показателями степени.

Каковы значения логарифмов log 0, log 1, log 2, log 3, log 4, log 5, log 10, log 100 и log inf?

Вот значения данных журналов:

• log 0 не определен ни для какой базы, потому что число, возведенное в любое число, не дает 0.
• журнал 1 = 0 как 10 ⁰ = 1
• log 2 ≈ 0,3010 (с помощью калькулятора)
• log 3 ≈ 0,4771 (с помощью калькулятора)
• log 4 ≈ 0,6021 (с помощью калькулятора)
• log 5 ≈ 0,6990 (с помощью калькулятора)
• log 10 = 1 как 10 ¹ = 10
• log 100 = 2 как 10 ² = 100
• журнал ∞ = ∞

Что такое ln в математике?

Ln в математике используется для представления натуральных логарифмов. т. е. ln = «логарифм с основанием e». Например, e ² = x ⇔ ln x = 2.

Какие 3 типа логарифмов существуют?

Существуют три основных типа логарифмов:

• Десятичный логарифм, который записывается как логарифм без основания. Например: журнал 2
• Натуральный логарифм, который записывается как «ln» (означает log _и ). Например: пер. 2
• Логарифм по любому другому основанию (без конкретного названия). Например: журнал ₃ 2.

Каковы значения логарифмов ln e, ln 1 и ln от 0?

Здесь значения заданных натуральных бревен.

• In e = 1 как e ¹ = e
• In 1 = 0 как e ⁰ = 1
• In 0 НЕ определено

Что такое важные логарифмические свойства?

Важными логарифмическими свойствами являются:

• Правило произведения: log _a mn = log _a m + log _a n
• Частное правило: log _a m/n = log _a m — log _a n
• Степенное правило: log _a m ⁿ = n log _a m

Как рассчитать журналы?

Мы можем вычислять логи, используя свойства логарифмов. т. е., используя правила журналов, мы можем либо сжать набор логарифмов в один, либо разложить один логарифм на множество. Мы также используем логарифмическую таблицу и антилогарифмическую таблицу в расчетах.

Какая производная от ln x и log x?

Вот производные:

• Производная от ln x равна d/dx (ln x) = 1/x.