Зачем нужны отрицательные числа: Зачем нужны отрицательные числа? Примеры применения отрицательных чисел.

Содержание

Кто придумал отрицательные числа и зачем они нужны? | Из истории науки

Наглядно представить себе отрицательное число может не каждый. Например трудно представить число -5. Ведь нельзя ни отмерить -5 м ткани, ни отрезать -500 г хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с еще более странными правилами действий над ними?

Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться. Если на товар большой спрос, фабрике увеличивают план по его выпуску, а если товар вышел из моды, то план приходится уменьшать. При обработке детали на станке ее масса уменьшается, а если к ней прива­ривают другую деталь, то масса увеличивается. Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т. д.

Шкала термометра с положительными и отрицательными числами

Шкала термометра с положительными и отрицательными числами

Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. А можно толковать положительные и отрицательные числа и по-иному. Например, можно считать, что положительные числа выражают имуще­ство, а отрицательные — долг. Если у кого-то в кармане 8 р., но он должен из них 5 р. отдать, то располагать он может только тремя рублями. Поэтому считают, что 8 + (- 5) = 3. Если же, наоборот, у него в кармане только 5 р., а должен он 8 р., то после того, как отдана вся наличная сумма, останется еще 3 р. долга. Это и выражают равенством 5 + (- 8) = — 3.

Примерно так толковали отрицательные числа индийские математики, которые столкнулись с ними при решении урав­нений. По-видимому, такие числа рассматривал и греческий математик Диофант, живший в III веке нашей эры.

Еще раньше с отрицательными числами столкнулись китайские ученые. Это было примерно во II веке до нашей эры. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Впервые его сформулировали индийские ученые.

Надо сказать, что именно это правило является самым таинственным во всей теории. Объяснить, почему при умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное, несложно. Для этого достаточно заменить умножение на натуральное число сложением и увидеть, что, например, (- 7) · 3 = — 7 + ( — 7) + ( — 7) = — 21. Труднее объяснить, почему это остается верным при умножении положительного числа на отрицательное, ведь что значит, например, взять число 6 слагаемым -3 раза? Даже самые крупные математики XVIII века давали здесь на редкость туманные объяснения. Англий­ский поэт У. Г. Оден с огорчением воскликнул:

«Минус на минус — всегда только плюс.
Отчего так бывает, сказать не берусь».

Однако в математике наряду с вопросом «почему?» встает и вопрос «а зачем?». Зачем говорить: «Температура измени­лась на -8 °С», вместо того чтобы сказать: «Температура упала на 8°»? И впрямь, для обычной речи это не нужно. Но при составлении уравнений мы не всегда знаем, какой полу­чится ответ—положительный или отрицательный. Напри­мер, в задаче спрашивается: «Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?» Составив уравнение и решив его, оказы­вается, что корень равен -7. Значит 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Вот поэтому математики и ввели отрица­тельные числа и с их помощью решают самые сложные урав­нения.

Как люди придумали числа меньше нуля — Look At Me

Каждую неделю Look At Me публикует отрывок из новой нон-фикшн-книги, выходящей на русском языке. В этот раз мы представляем книгу Алекса Беллоса «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры», которую выпустило издательство «Манн, Иванов и Фербер».

Проще всего посмеяться над людьми, не понимающими основ арифметики, однако не стоит с этим спешить. Отрицательные числа мучили наш разум столетиями и делают это до сих пор. Именно поэтому подземные этажи зданий принято обозначать буквами (например, LG — lower ground («подземный этаж») и B — basement («подвальный этаж»)) или алфавитно-цифровыми знаками (скажем, B1, B2 и B3), а не отрицательными числами (–1, –2 и –3). Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в –300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (

от debtor — «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.

Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчёта и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить. Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают ещё три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаём одну, у нас остаётся ещё одна. Но что значит 2 − 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я всё же могу это сделать — тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, её отсутствие, причём такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.

Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин — правда, в определённой степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в чёрный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Китайцы размещали палочки на разграфлённой доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из чёрных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось. Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы. 

Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст — деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий — отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму. Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввёл число ноль в его современном понимании.

 

Долг минус ноль — это долг.
Имущество минус ноль — это имущество. Ноль минус ноль — это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, — это имущество. Имущество, вычтенное из нуля, — это долг. И так далее…

Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века — и в Испании. Тем не менее понадобилось ещё три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе. Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.

Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа

(numeri absurdi), и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел. Рассмотрим такое уравнение:

С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (−1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (−1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности. Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:

Что эквивалентно ряду:

3,3; 5; 10; 20…

По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значение знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число), дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».

В этом смешении разных мнений прозвучала одна чёткая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел. В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось, на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдёт от ноля вперёд на пять ярдов, а затем вернётся назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто… А значит, −3 — это та же точка на линии, что и +3, но не вперёд, как должно быть, а назад». Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось — самая успешная разъяснительная схема всех времён. У неё множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.

Доклад Отрицательные числа 6 класс сообщение

Отрицательные числа в науке не признавались несколько сотен лет. Это связанно с тем, что отрицательные числа это что-то вымышленное, ненастоящие. Много лет назад отрицательные числа не признавались, как сейчас не признается существования параллельной вселенной.

История отрицательных чисел берет свое начало на берегах реки Цынь, то есть в Китае во втором веке до нашей эры. Есть теория, что отрицательные числа возникли намного раньше, но первое упоминание датируется вторым веком до нашей эры. В Китае не существовало не какой теории, а тем более доказательства отрицательных чисел. Они зародились на практике, а точнее в торговли и в банковской системе. Под отрицательными числами предполагался долг, а под положительными выплаченная сумма денег. Также в древнем Китае не было привыкшей для современного человека записи отрицательного числа. Все отрицательные числа были написаны черным цветом, а положительные в свою очередь красным.

Первым описал отрицательные числа китайский ученый Чжан Цань, в своей главной математической работе «Математика в девятью главах». После этого отрицательные числа ушли в «туман» на несколько веков. И только в шестом веке отрицательные числа вновь вернулись. Теперь они начали широко использоваться не только в Китае, но в и Индии. Китайцы все время старались оградиться от этих чисел, потому что верили, что отрицательные числа приносят скверну и неурожаи. А вот индия полностью противоречила Китаю и активно пользовалась этими числами. В то время как Индия и Китай пользовались отрицательными числами, другие государства их не принимали. Египет, Рим и Вавилон наотрез отказались принимать новые математические решения. В том случаи, если получалось отрицательное значение, считалось,  что данное выражения не имеет решения.

Вслед за Вавилоном от отрицательных цифр отказалось и Европа. Она не принимала их еще несколько столетий. Европейцы считали эти числа вымышленными и несуществующими. Так в заблуждения Европа жила до 1202 года. Именно в этот год Европейский математик Лионардо Физанский, доказал существования этих чисел. Этот шаг резко продвинул всех математиков старого света.

Доклад №2

Они берут свою историю из Китая около II века до н.э. Продолжительное время люди и думать не могли, что они существуют на самом деле. Суть проблемы заключается в том, что отрицательные числа трудно назвать настоящими и проверить их подлинность. Таким образом, в Древности, если при математических действиях должно было получиться отрицательное число, то записывалось, что вычисление не имеет ответа.

Только в Китае впервые упомянули отрицательные числа в виде долгов. Соответственно, положительные числа стали называть «имуществом». Стоит отметить, что долг всегда прописывался черными чернилами, а красным имущество.

Но уже в V-VI веках использование этих чисел дошло и до Индии. Если в Китае их старались использовать как можно реже, а лучше вовсе не использовать, то в Индии наоборот. Многие ученые взялись за исследование отрицательных чисел.

А уже до Европы отрицательные числа доходили уж слишком долго. Как и в Древности, ответ не записывался, если должно было получиться отрицательное число. Мысль об этих числах считалась абсурдной и ни в коем разе недопустимой. Никто не мог предположить, что такая идея имеет право на существование. Если существует такое число, как 0, то меньше него ничего не может быть. Вычитать из нуля? Такую идею сразу отметали, считая глупой, ведь 0 символизирует пустоту.

Известный многим людям, как Фибоначчи,  на самом деле Леонардо Пизанский, самый первый европеец, обративший внимание на отрицательные числа. Именно он решил, что эта идея не такая уж безумная и имеет свое развитие. Все его идеи нашли отражение в собственной книге в начале XII века.

Уже в XVI веке Штифель в своем произведении описал во всех подробностях, что такое отрицательные числа. И в XVII веке Декарт внес предложение, которое по сей день используют повсеместно. Суть предложения состояла в том, чтобы расположить отрицательные числа по левую сторону от нуля  на цифровой оси. С этого момента отрицательные числа получили признание в любом уголке мира.

К концу XIX века Гаус провел целое исследование, в ходе которого пришел к выводам, что хоть теперь отрицательные числа и признаются, а не записываются, как «нет решений», но бывают и такие случаи. Не все действия с ними выполнимы, как в случае с положительными числами. Наглядным примером можно считать дроби.

Уже Гамильтон и Грассман разработали полноценную теорию. Исходя из нее, можно сказать, что отрицательные числа на самом деле реальны, но ограничены в действиях.

6 класс

Отрицательные числа

Популярные темы сообщений

  • Потребители и разрушители экосистемы

    Любая природная система является совокупностью живых и неживых организмов, способов их взаимодействия в пределах среды обитания. Для функционирования каждой системы нужно поддерживать беспрерывный круговорот веществ.

  • Белый тигр

    Примерно в 1951 году один господин пошел на охоту и нашел тигриное логово, где было несколько обычных тигрят, а среди них был один очень необычный тигренок, он был белый! Все тигрята, кроме белого, были уничтожены.

  • Дерево Каштан

    Каштан относится к многолетним растениям, к семейству Буковые. Это декоративное цветущее дерево. Каштаны имеют красивую раскидистую крону, их используют для украшения скверов, парков и приусадебных участков.

Урок-проект «Мир положительных и отрицательных чисел»

 

 

ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ

«МИР ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

Класс 6

 

 

 

 

 

 

 

ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ

«МИР ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

КЛАСС 6

(защита проекта «Положительные и отрицательные числа»

 

Краткая аннотация проекта

 

Проект «Положительные и отрицательные числа», рассчитан на учащихся 6 класса, рассчитан на 3 недели, призван систематизировать и обобщить знания по теме «Положительные и отрицательные числа».

Проект направлен на: формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию),точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений.

Участвуя в проекте, дети проследят путь развития учения о положительных и отрицательных числах, узнают о применении отрицательных чисел в повседневной жизни; научатся решать задачи по теме «Положительные и отрицательные числа», освоят некоторые сервисы веб.

Итоговым продуктом проекта является памятка правил по теме «Положительные и отрицательные числа, создание  рабочей  тетради, которая поможет оценить   знания учащихся, а также сообщения «Истории возникновения отрицательных чисел»

 

Цели: формирование устойчивого навыка действий с «+» и «-«, создать условия для формирования умений  структурировать и систематизировать информацию;  для самостоятельного получения новых знаний о действиях с числами, способствовать развитию информационной и коммуникативной культуры.

Задачи: формирование навыка действий с положительными и отрицательными числами. Развитие умения использовать способы действий в разных ситуациях.

 

Научить учащихся:

Сотрудничать, приобретать знания самостоятельно, систематизировать полученную информацию , пользоваться приобретенными знаниями для решения конкретных задач, работать в группах, выполняя разные социальные роли, делать выводы и заключения, получить эффективный результат решения проблемы в процессе совместной деятельности.

Подготовка к конференции: ученики заранее делятся на 3 группы: “ Историки”, «Математики»,» Исследователи» “литераторы”, “ ”; все участники собирают материал и пишут рефераты по разделам: ,       “История положительных и отрицательных чисел”, “Математика в литературе”.

 

Ход  урока

Оборудование: презентация. доклады участников конференции

I  Организационный момент

Эпиграф

 

Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому.     (Д. Пойа)

Учитель:

 

Прозвенел звонок,

Начинается урок.

Вы за парты дружно сели,

На меня все посмотрели.

Встало солнышко давно,

Заглянуло к нам в окно,

На урок торопит нас –

Математика сейчас

 

Я рада видеть каждого из вас,

И пусть весна прохладой в окна дышит,

Нам будет здесь уютно, ведь наш класс

Друг друга любит, чувствует и слышит.

 

Давайте, ребята, друг другу улыбнёмся, и начнём урок.

 

А девизом нашего урока пусть будут такие слова:

 

 Думаю! Знаю! Могу!

Интерактивное   упражнение «Стоп-внимание!»)

В течение 20 секунд ученики должны запомнить числа и их цвет в таблице и затем установить их в памяти .

2103201763

II. Мотивация учебной деятельности

Ребята!. Путешествуя интересной, замечательной страной, что зовется Математика, вы ознакомились с новыми правилами , законами, учились логически мыслить, анализировать, делать выводы, помогать друг другу .Сегодня мы подводим итоги вашей деятельности  по изучению  темы: ”Действия с рациональными числами». Окружающий мир настолько сложен и разнообразен, что  натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события. Урок будет проведен в нестандартном виде: урока- конференции,  как итога вашей   исследовательской деятельности.  Сегодня нам предстоит защита проекта «Мир  положительных и отрицательных чисел». 

Тема учебного проекта:
«Мир положительных и отрицательных чисел»

Учебные вопросы:

  • Зачем человеку «положительные» и «отрицательные» числа?
  •    Используются ли где-нибудь кроме математики понятия «положительный» и «отрицательный»?
  •   Когда и где возникли эти числа и всегда ли их так называли?

 

  •  Можно ли выполнять действия над числами с разными знаками?

Эпиграф урока.

 

Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому. (Д. Пойа)

 

Основная идея проекта:

 

связь математики с решением практических задач, значимость основных понятий математики, расширение кругозора учащихся

Цель: исследовать важность и необходимость

отрицательных  чисел в жизни человека, изучить историю возникновения   отрицательных чисел,

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС

Нужны ли в жизни отрицательные  числа

 

ПРОБЛЕМНЫЕ  ВОПРОСЫ

-Где и кто открыл   отрицательные числа?

-Зачем нужны отрицательные числа?

-Где применяются отрицательные числа?

-Как работать с отрицательными числами?

 

Гипотеза

Отрицательные числа –   «лишние,  ложные» числа

 

«Твой ум без числа ничего не представляет.»
               Н.Кузанский

Высказывание немецкого философа  показывает важность любых чисел в жизни людей, поэтому тема данной работы  актуальна

 

Учебные предметы:

 

Математика, Физика, География, История, Биология, Экономика

Участники проекта-учащиеся 6 класса

 

Группа №1 Историки

-Где и кто открыл   отрицательные числа?

Группа №2  Математики

-Как работать с отрицательными числами ?

Группа №3 Литераторы  

-Сказки

-Поэтические минутки (правила в стихах)

Группа №4  Исследователи

— Зачем нужны отрицательные числа?

Где применяются отрицательные числа?

Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше, чем отгадок

И поискам предела нет

 

Не беда, что идти нелегко,

И не бойтесь, что путь будет труден.

Никогда не давались легко

Достижения людям

 

Итак, первым предоставляется слово «ИСТОРИКАМ»: они подготовили доклад и  презентацию. после просмотра  которой   нужно ответить на вопросы их викторины.       

Как сказал один из философов: «История пишется для установления строгой истины». А она нам в данный момент очень нужна!

Презентация 1

Мини доклад. (Доклад прилагается)

Ученик: История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Числа казались непонятными и ими не пользовались, т.к не видели в этом никакого смысла. Впервые отрицательные числа появились в Китае во II веке до н.э. Знаков «+» и «-« тогда не было. Положительные числа записывали красным цветом, отрицательные – черным.

В VII в начали использовать отрицательные числа в Индии. Положительные числа толковались как имущество, а отрицательные как долг.

Индийские математики Брахмагупта и Бхаскары составили свои правила действий для этих чисел

В XII в отрицательные числа появились в Европе и снова как долг.

В XV веке появились термины «положительный» и «отрицательный». Знаки «+» и «-« ввел математик Ян Видман.

В XVII в. французский математик Рене Декарт ввел координатную прямую.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XVIII.

Отголоском тех времён является то, что в современной  математике  операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом минус —

 

Викторина

Перед вами викторина. Задания на доске и в распечатанном виде и у вас на столах. В течение 3-4 мин постарайтесь ответить на 5 вопросов данной викторины.

                                                Вопрос №1
В какой стране впервые появились отрицательные и положительные числа?
                                                Вопрос №2
В древности ростовщики давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и чёрточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачёркивали, получался плюс? В какой стране это делали?
                                                Вопрос №3
В каких странах не использовали отрицательные числа?
                                                Вопрос №4
Как в древности называли положительные и отрицательные числа?
                                                Вопрос №5
«Сумма двух имуществ есть имущество», «сумма двух долгов есть долг». Чьи это слова?
                                                Вопрос №6
Когда в Европе начали пользоваться отрицательными и положительными числами?
                                                Вопрос №7 
Как звали математика, который ввёл координатную прямую?
                                                Вопрос№8
Каким знаком обозначал вычитание греческий математик Диофант Александрийский?
                                                Вопрос №9
В каком веке была создана полная теория отрицательных чисел?

Оцените работу команды, а «ИСТОРИКИ» проверяют правильность ответов на викторину 

Слово предоставляется команде « МАТЕМАТИКОВ».

Ух уж эти числа!

Презентация 2

 

Ученик: Я, представитель команды « Математиков»

Числа отрицательные новые для нас.

Лишь совсем недавно изучил наш класс

Сразу прибавилась всем на мороки

Учат, учат правила дети все уроки

Цель нашей работы— обобщить весь учебный материал и решить при этом главную задачу-найти метод изложения правил в форме, которая легко запоминается. Это схемы, наглядный материал, алгоритмы, стихотворная форма.

Мы разбили нашу работу на 4 части: составили   схемы, памятку правил и правила в стихах.

Приступим к рассмотрению 1 части нашей работы:

  1. Фишбон
  2. Схемы
  3. Поэтическая минутка (правила в стихах)

Пляшут числа на стене

Очень интересно мне

Минус-плюс, плюс-минус плюс

    Хороши ль они на вкус?

     Нет, я есть их не хочу

    Я их лучше изучу

(пролистывает свою презентацию)

Ученик: Выучи стихотворенье -веселей пойдет ученье!

(ученик показывает презентацию «памятки» правил) и раздает напечатанные на парту

Мы подготовили памятки для лучшего запоминания правил.(Прилагаются)

Ученик.

Хочется  закончить  свое выступление  словами ученого кораблестроителя А.Н. Крылова: «Без теории нет практики, а без практики нет знаний!».

Поэтому мы и создавали Рабочую тетрадь, которая поможет оценить наши знания

 

Вывод:

В течение всей жизни каждый из нас постоянно пользуется набором всевозможных правил, которые экономят время нам и силы. Мы желаем вам, чтобы наши памятки оказали   вам помощь. И не только ученикам, но нашим родителям.

Оцените выступление команды. 

 

 Физкультминутка(офтальмопауза)

А сейчас мы немного отдохнем! А заодно повторим местоположение чисел на координатной прямой. Представьте, что каждый из вас , является точкой отсчета. Если я называю положительное число-поднимите правую руку, если отрицательное число-левую руку. Ноль-руки вместе.

Например: 4- правая рука

                -10- левая рука

                   0-вместе и т.д.

Молодцы! Местоположение чисел на координатной прямой вы знаете.

Следопыты- это люди, которые собирают информацию о чем то.

Слово предоставляется команде « Исследователи»

Презентация 3

Ученик: Немецкий философ сказал: — «Твой ум без числа ничего не представляет». Это говорит о том, что числа имеют большое значение в нашей жизни. Поэтому эта тема очень актуальна и сегодня.

Наша цель изучить и исследовать применение отрицательных чисел на страницах школьных учебников.

Задачи нашего мини проекта:

Изучить литературу по данному вопросу. Понять суть отрицательных чисел. Исследовать применение отрицательных чисел в физике, географии , экономике  биологии. Сделать сообщение учащимся класса.

Чтобы не потерять где и на каких страницах учебника, кроме математики, мы встречались с этими числами, мы составили кластер. Он перед вами.

География: Сейчас мы изучаем и можем сказать глубина — это знак «-», высота знак «+».

В 7 классе на уроках физики увидим замерзание «минус», кипение — «плюс»

Алгебра 7 класс: Координатная плоскость.

В 8 классе химия: Катион – это положительно заряженный ион, анион – отрицательно заряженный ион.

В старших классах на уроках экономики мы изучим подробно, что «долг» — отрицательная величина, а «прибыль» — положительная.

На уроках литературы можно встретить эти знаки, когда характеризуем положительные и отрицательные черты героя.

Но перед нами стояла еще одна задача подготовить вопрос для проверки.

Мы знаем, что в математике свой язык – это язык символов и формул. Напишите в математической символике данный текст, если под «+» понимать друг, а под «-» враг. Задание оценивается в 2 балла.

«Друг моего друга – мой друг»  (интерпретируем, как   «+» × «+» = «+»)

«Враг моего врага – мой друг»  (интерпретируем, как   «-»× «-» = «+»)

«Друг моего врага – мой враг»  (интерпретируем, как      «+»× «-» = «-»)

«Враг моего друга  — мой враг»   (интерпретируем, как    «-»× «+» = «-»)

Кто готов может пойти к доске и написать

 

Презентация 4

Ученик: Хочется начать свое выступление со слов ученого кораблестроителя А.Н. Крылова: «Без теории нет практики, а без практики нет знаний!». А один из философов сказал: «Знание – это сила, чем больше ты имеешь знаний, тем меньше времени потребуется для достижения цели» Поэтому мы и создавали рабочую тетрадь, которая поможет оценить ваши знания

В данную тетрадь вошли задания тренировочного характера по темам: применение отрицательных чисел, координатная прямая и координатная плоскость, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел, решение уравнений. Мы вам предлагаем одно из заданий в игровой форме, так как считаем, что от игры к знаниям — один шаг.

Задание «ЦЕПОЧКА» (см приложение)  Листы с заданием лежат  на столе и на экране. Двигаясь по стрелкам, выполните действия. В результате ответ получается таким, как первое число.

Вывод: Гипотеза опровергнута. Отрицательные числа важны, значимы и необходимы.

Физкультминутка

«Здоровье – это не только отсутствие болезней, это полное физическое, душевное и социальное благополучие». Необходимо помнить всегда, что купить здоровье нельзя, его можно сохранить постоянной заботой о нем. Наша главная задача – беречь своё здоровье.

 

Вспомним:

Интерактивный тренажер

 

Учитель: Ребята, давайте подведем итоги нашей работы, подведите итоги в своих оценочных листах.

Итог урока

— Желаю вам цвести, расти,

Копить, крепить здоровье,

Оно для дальнего пути –

Главнейшее условье.

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет,

Вам от души желаю я

Друзья, всего хорошего,

А всё хорошее, друзья,

Дается нам недёшево.

С. Маршак

— Здоровья вам и успехов во всём.

Чему вы сегодня научились?  …

Помни всегда

Что без труда

В учебе побед не добиться

Домой.   Составить лото из 9 примеров. Решить их. Нарисовать картинку.

Написать в нужных квадратиках ответы. Разрезать картинку. Все сложить в конверт  .

Спасибо за урок.

Музыка

Рефлексия.

И уходя из класса я прошу вас оценить урок, прикрепив к доске «сердечко» — если урок вам понравился и вам все было понятно, «молнию» — если у вас остались какие-то вопросы и «круг» — если вам ничего не понравилось на уроке

 

— Спасибо всем за урок. Молодцы!

 

Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

  • сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
  • умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
  • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Положительные и отрицательные числа

Определение положительных и отрицательных чисел

Для определения положительных и отрицательных чисел воспользуемся координатной прямой, которая располагается горизонтально и направлена слева направо.

Замечание 1

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число нуль, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Определение 1

Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат правее от начала отсчета, называются положительными.

Определение 2

Числа, соответствующие точкам координатной прямой, которые лежат левее от начала отсчета, называются отрицательными.

Из данных определений вытекает, что множество всех отрицательных чисел противоположно множеству всех положительных чисел.

Отрицательные числа всегда записывают со знаком «–» (минус).

Пример 1

Примеры положительных чисел:

  • Натуральные числа $3$, $13$, $333$, $578$, $10456$ и т.д.
  • Рациональные числа $\frac{9}{17}$, $4 \frac{11}{23}$, $5,25$, $4,(79)$.
  • Иррациональные числа $π$, $е$, $\sqrt[3]{2}$, бесконечная непериодическая десятичная дробь $103,1012341981…$

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 2

Примеры отрицательных чисел:

  • Рациональные числа $-\frac{9}{17}$, $-4 \frac{11}{23}$, $–5,25$, $–4,(79)$.
  • Иррациональные числа$ -\sqrt[3]{2}$, бесконечная непериодическая десятичная дробь $–103,1012341981…$

Для упрощения записи перед положительными числами часто не записывают знак «+» (плюс), а перед отрицательными знак «–» записывают всегда. В подобных случаях необходимо помнить, что запись «$17,4$» равносильна записи «$+17,4$», запись «$\sqrt{5}$» равносильна записи «$+\sqrt{5}$» и т.д.

Таким образом, можно использовать следующее определение положительных и отрицательных чисел:

Определение 3

Числа, записанные со знаком «+», называются положительными, а со знаком «–» – отрицательными.

Используется определение положительных и отрицательных чисел, которое основано на сравнении чисел:

Определение 4

Положительными числами являются числа больше нуля, а отрицательными числами – числа меньше нуля.

Замечание 3

Таким образом, число нуль разделяет положительные и отрицательные числа.

Правила чтения положительных и отрицательных чисел

Замечание 4

При чтении числа со знаком впереди него сначала читается его знак, а затем само число.

Пример 3

Например, «$+17$» читают «плюс семнадцать»,

«$-3 \frac{4}{11}$» читают «минус три целых четыре одиннадцатых».

Замечание 5

Стоит отметить, что названия знаков «плюс» и «минус» не склоняются, в то время как числа могут склоняться.

Пример 4

Например, «$x=-18$» можно читать как «икс равен минус восемнадцать», так и «икс равен минус восемнадцати».

Интерпретация положительных и отрицательных чисел

Положительные числа используются для обозначения увеличения какой-нибудь величины, прихода, прибавки, возрастание значения и т.д.

Отрицательные числа применяют для противоположных понятий – для обозначения уменьшения какой-нибудь величины, расхода, недостатка, долга, снижения значения и т.д.

Рассмотрим примеры.

Читатель взял в библиотеке $4$ книги. Положительное значение числа $4$ показывает число книг, которые есть у читателя. Если ему нужно сдать $2$ книги в библиотеку, можно использовать отрицательное значение $–2$, которое будет указывать на уменьшение числа книг у читателя.

Положительные и отрицательные числа часто используют для описания значений различных величин в измерительных приборах. Например, термометр для измерения температуры имеет шкалу, на которой отмечены положительные и отрицательные значения.

Похолодание на улице на $3$ градуса, т.е. снижение температуры, можно обозначить значением $–3$, а повышение температуры на $5$ градусов – значением $+5$.

Принято отрицательные числа изображать синим цветом, что символизирует холод, низкую температуру, а положительные числа – красным цветом, что символизирует тепло, высокую температуру. Обозначение положительных и отрицательных чисел с помощью красного и синего цвета используется в различных ситуациях для выделения знака чисел.

Урок по теме «Отрицательные числа», 6-й класс

Цели урока:

  • продолжить формирование следующих навыков и умений по данной теме: сравнение отрицательных чисел, координаты на прямой, сложение отрицательных чисел;
  • в целях решения задач нравственного воспитания, обеспечить в ходе урока, изучение вопросов, содействующих воспитанию патриотизма;
  • в целях развития речи учащихся обеспечить устный опрос учащихся.

Тип урока: урок повторения закрепления знаний, умений, навыков.

Оборудование: карточки с заданиями, наглядные пособия, доска, мел.

Структура урока:

Мотивация учебной деятельности учащегося, сообщение темы, цели и задач урока.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний, навыков, умений

  1. Что такое отрицательные числа?
  2. Зачем нужны отрицательные числа?
  3. Что такое положительные числа?
  4. Есть ли такие числа, которые не являются ни отрицательными ни положительными?
  5. Что такое модуль числа?

Решить примеры:

  1. – 6 + (- 8 ) = — 2
  2. – 2 2/5 + ( — 1 2/5) + (- 1/5) = — 3 4/5
  3. – 8,9 + (- 1,2) = 10,1
  4. – 12,3 + ( — 11) = — 23,3
  5. 1 1/7 + (- 5/7) = — 3/7

     6. Правила сложения отрицательных чисел.

Осмысленное содержание и последовательное применение практических действий учащихся

“Математическое лото” <Рисунок 1>. В карточке лото шесть чисел, одно контрольное (оно не зачеркивается), правильные ответы вычеркиваются.

2. Координата т. В на координатной прямой
3. (- 35) + (- 9)
4. – 1,6 + (- 4,4)
5. – 7 + (- 14)
6. – 17 + (- 8)
7. – 5 + (- 238)
8. – 8 + (- 3,5)
9. – 6 + (- 1/2)
10. То число у которого модуль больше – 2/5 и – 4/5

Контрольные числа записаны на обратной стороне доски

I вариант: = 233 II вариант: = — 3/6

Самостоятельное выполнение учащимся задания под контролем и с помощью учителя

Правильно ли?

-100 > — 2, -50 > 1.

Решите задачу.

На территории Нашей республики обитает такое животное – росомаха. Встречается в зоне

участка “ Малый Абакан”, который входит в состав государственного заповедника “Хакасский”. Росомаха – крупный сильный, по виду неуклюжий зверь. Ноги короткие, с крупными когтями, шея толстая. Передвигается росомаха шагом рысью или скачками. Питается птицами, грызунами, зайцами, падалью, а так же крупными животными. Врагов у росомахи практически нет. Она выполняет в природе роль санитара. Узнать вес росомахи в кг. поможет удивительный квадрат <Рисунок 2>

<Рисунок 2>

— 19,5 1 — 20
— 80,2 — 12 1/2 100/2
— 47,5 12 3/4 — 48
  1. Из первой строки выберите наименьшее число – 20
  2. Из второй наибольшее – 12 1/2
  3. Из третьей не наименьшее, не наибольшее – 47,5
  4. Найдите сумму чисел
  5. Модуль числа — 80 = 80 . Это вес росомахи.

Если правильно расположить числа в порядке возрастания, то получите название горы, расположенной в горном массиве западного Саяна

8 3 3/5 5 — 6,5 — 8 0 6,8
Ш А Т А К Р  

 Следующее задание:

Представлен бланк ответа, который нужно раскрасить соответствующим цветом

  1.  28,52 : — 2,31 = белый
  2. – 2 1/3.9/14 = зеленый
  3. 3,4 . 2,3 – 5,32 = синий
  4. 3,5 : х = 0,8 : 24 = красный

Если задание выполнено правильно, то при раскраски должен получиться флаг нашей Республики Хакасия. Вот какие стихи о нашей малой Родине слагает Николай Доможаков.

По земле цветущей только ступишь
Здесь оставишь сердце навсегда –
Енисей серебренный полюбишь
И тасхылы, синие от льда.

Итоги урока и сообщения домашнего задания.

Как могут существовать отрицательные числа?

Вы когда-нибудь читали градусник холодным зимним утром? Если да, возможно, вы видели отрицательное число. Во многих местах обычно зимой бывает -15 ° F или даже -20 ° F. В Антарктиде температура опускается до -128 ° F!

УДИВИТЕЛЬНО, как вообще возможна отрицательная температура? Как могут существовать отрицательные числа?

Вы не первый, кто задает этот вопрос! Европейские математики веками отвергали отрицательные числа.Они не думали, что отрицательные числа имеют смысл. Однако люди в Индии и Китае тысячелетиями использовали отрицательные числа. В конце концов пришли европейцы, и сегодня мы везде используем отрицательные числа.

Отрицательные числа имеют больше смысла, если мы посмотрим на числовую линию. В числовой строке все числа справа от нуля положительны. Если мы переместимся влево от нуля, они станут отрицательными:

Мы получаем отрицательное число, вычитая большее число из меньшего.Например, если мы вычтем девять из восьми, это будет выглядеть так:

8–9 = -1

Существует множество других правил использования отрицательных чисел в математике. Вы слышали, что две ошибки не делают правильных? Это может быть правдой, но два отрицательных момента делают положительный момент! Когда мы вычитаем отрицательное число, знак вычитания находится рядом с отрицательным знаком. Это означает, что мы можем заменить их знаком добавления. Вот как это выглядит, когда два негатива дают положительный результат:

0 — -3 = 0 + 3 = 3

Это правило также применяется при умножении.Когда мы умножаем два отрицательных числа, ответ всегда положительный:

-5 × -2 = 10

Отрицательные числа могут показаться загадочными в математических задачах. Для многих людей отрицательные числа в реальном мире имеют больше смысла. Помните то холодное утро, когда вы читали градусник? Отрицательные числа помогли понять, насколько холодна погода. Представьте термометр как числовую линию. Если термометр был в градусах Фаренгейта, то точка замерзания составляла 32 ° F. Если температура была -15 ° F, то это было 47 градусов ниже нуля.По Цельсию точка замерзания составляет 0 ° C. Это означает, что -15 ° C будет на 15 градусов ниже нуля.

Вы когда-нибудь изучали карты или географию? Если это так, возможно, вы слышали о высоте. Высота говорит нам, насколько выше или ниже уровень моря находится место. Например, пик горы Эверест находится на высоте 29 029 футов над уровнем моря. Бэдуотер, Калифорния, — самая низкая точка в Соединенных Штатах. Его высота -282 фута! Это означает, что если бы бассейн Бэдуотер был ближе к океану, он был бы под водой.

Еще один способ подумать об отрицательных числах — это посмотреть на банковский счет.Когда человек тратит деньги, банки используют отрицательные числа для записи транзакций. Если человек потратит 10,50 долларов на билет в кино, билет в кино будет отображаться на его или ее банковском счете как отрицательное число (-10,50). Таким образом, банк знает, что нужно вычесть 10,50 долларов со счета.

Отрицательные числа иногда сбивают с толку, когда мы впервые узнаем о них. Правила бывает сложно запомнить! Как и все остальное, понимание отрицательных чисел становится легче с практикой. Можете ли вы придумать какие-либо другие примеры отрицательных чисел из реального мира?

Отрицательные числа: Связь с повседневной жизнью

Многие считают математику трудным предметом.Надо спросить об использовании математики и ее практическом применении. Математика повсюду, равно как и значение чисел и их связь с повседневной жизнью. Математика — это все о числах, и числа могут быть сгруппированы в различные типы чисел, такие как целые числа, целые числа, действительные числа, комплексные числа, рациональные, иррациональные числа и многие другие типы.

Все отрицательные числа имеют значение меньше нуля. Отрицательные числа используются со знаком минус или тире (-) вместе с числом.В числовой строке отрицательные числа — это числа, представленные слева от начала координат (ноль), и их значения меньше нуля.

Применение отрицательных чисел в реальной жизни

Может показаться странным, что число меньше 0. Поскольку мы часто думаем, что ноль не означает ничего. Например, если у вас в коробке осталось 0 штук ручек, значит, ручек у вас нет. Ничего не осталось. В этом случае сложно представить, что у вас будет меньше, чем ничего. Но в реальной жизни бывают ситуации, когда вы используете числа меньше нуля.Некоторые из их реальных приложений приведены ниже.

1. Температура

Температура — это физическая величина, выражающая жар и холод. Положительная температура используется для теплой / жаркой погоды, а отрицательная температура представляет собой холодную погоду по шкале Цельсия. {\ circ} \ mathrm {F} \ right) \) и шкалу Кельвина.{\ circ} \ mathrm {F} \) по шкале Фаренгейта.

2. Деньги

Отрицательные числа часто используются для обозначения кредита в банковской системе. Отрицательное сальдо в банке указывает на то, что деньги были превышены. Таким образом, каждый раз, когда кто-то должен какие-либо деньги, это обозначается отрицательным количеством денег.

3. Лифт / Лифт

Лифт или лифт — это вертикальный транспорт, который перемещает людей или товары между этажами здания. Как правило, в зданиях цокольный этаж считается 0, поэтому переход на другие этажи ниже первого, такие как подвал или парковка, отмечены отрицательными числами / целыми числами (например.г., -1, -2, -3.)

4. Уровень моря

Уровень моря (или средний уровень моря; MSL) — средний уровень Мирового океана. Этот уровень поверхностных вод служит ориентиром для измерения высоты над или под ним. Повышение или понижение географического местоположения — это его высота над или под уровнем моря. Географические местоположения ниже уровня моря представлены с использованием отрицательных чисел (например, -100 футов над уровнем моря)

5. Викторины / Игры

В различных играх и видах спорта отрицательные числа используются при подсчете очков / очков или при наложении штрафа.Неправильный ответ в викторине или поражение в игре могут привести к потере баллов (такие баллы считаются отрицательными числами). Более того, в некоторых видах спорта, таких как гольф, при подсчете очков используются отрицательные числа.

Важные примечания

  • Отрицательные числа — это целые числа со знаком минус, обычно обозначающие низкое значение, отсутствие или снижение качества или количества.
  • Отрицательные числа противоположны положительным числам (+) и отмечаются слева от числовой строки.

Пример: 1) За ночь температура упала с 5 ºC до -14 ºC. На сколько градусов упала температура?

Падение температуры = от 5 ºC до -15 ºC

5-15 = 10 ⇒ 10 ºC

Температура упала на 10 ºC

Пример: 2) Найдите предшественника следующих целых чисел:
А) -4
Б) 16

A) Предшественником -4 является -4 -1 = -5
Б) Предшественник 16 равен 16 -1 = 15

Связанные темы

Часто задаваемые вопросы об отрицательных числах: связь с повседневной жизнью

Как отрицательные числа используются в повседневной жизни?

Отрицательные числа обычно используются при описании температуры ниже точки замерзания, кредита / причитающихся денег, высоты над / под уровнем моря, уровня лифта, когда он ниже уровня земли, в качестве штрафа в викторинах / играх и т. Д.

Почему мы используем отрицательные числа?

Мы используем отрицательные числа, чтобы описать недостаток количества или уменьшение / уменьшение количества. Отрицательные числа обычно используются для описания температуры ниже точки замерзания, денежного кредита, высоты ниже уровня моря, уровня лифта, когда он ниже уровня земли, отрицательных оценок на экзаменах, в качестве штрафа в викторинах / играх и т. Д.

Как положительные и отрицательные числа используются в реальной жизни?

Отрицательные и положительные числа используются в реальной жизни для описания расстояния от контрольной точки.Например, для лифта уровень земли рассматривается как 0, а в качестве контрольной точки этажи над уровнем земли обозначаются положительными числами. Этажи ниже уровня земли обозначаются отрицательными числами.

Как целые числа используются в повседневной жизни?

Целые числа обычно используются при описании температуры выше / ниже точки замерзания, дебета / кредита денег, географического уровня выше / ниже уровня моря, уровня лифта, когда он выше / ниже уровня земли, в качестве бонуса и штрафа в викторинах / играх. , так далее.

0 — действительное число?

Да, 0 ноль — это действительное число. Вещественные числа могут быть положительными или отрицательными и включать число 0.

Темы по алгебре: Отрицательные числа

Урок 3: Отрицательные числа

/ ru / algebra-themes / exponents / content /

Что такое отрицательные числа?

Отрицательное число — любое число меньше нуля. Например, -7 — это число, которое на семь меньше , чем 0.

-7

Может показаться немного странным сказать, что число меньше , чем 0.В конце концов, мы часто думаем, что ноль означает ничего . Например, если в вашей конфетной чаше осталось 0 кусочков шоколада, у вас останется , а не . ничего не осталось . В этом случае сложно представить, что у вас будет меньше, чем ничего.

Однако в реальной жизни бывают случаи, когда вы используете числа меньше нуля. Например, бывали ли вы на улице в очень холодный зимний день, когда температура была ниже нуля? Любая температура ниже нуля — отрицательное число.Например, температура на этом градуснике -20 , или двадцать градусов ниже нуля.

Вы также можете использовать отрицательные числа для более абстрактных идей. Например, в финансах можно использовать отрицательные числа, чтобы показать долг . Если я переоцениваю свой счет (вынимаю больше денег, чем у меня есть на самом деле), мой новый банковский баланс будет отрицательным числом . У меня не только не будет денег в банке — на самом деле у меня будет меньше , чем ничего, потому что я должен банку деньги .

Посмотрите видео ниже, чтобы узнать больше об отрицательных числах.

Любое число без знака минус перед ним считается положительным числом , то есть числом больше нуля . Таким образом, в то время как -7 — это отрицательная семерка , 7 — это положительная семерка или просто семь .

Отрицательные числа

Как вы могли заметить, отрицательные числа пишутся с помощью того же символа, что и при вычитании: знака минус (-).Знак минус не означает, что вы должны думать о числе типа -4 как о и вычесть четыре . В конце концов, как бы это вычесть?

-4

Вы не могли — потому что вычесть это не из чего. Мы можем написать -4 само по себе именно потому, что это не означает означает, что вычесть 4 . Значит против из четырех.

Посмотрите на 4 и -4 в числовой строке:

Вы можете представить себе числовую прямую состоящей из трех частей: положительного направления , отрицательного направления и нулевого .Все, что находится справа от нуля, — это положительное значение , а все, что находится слева от нуля, — это отрицательное значение . Мы думаем о положительных и отрицательных числах как о , противоположных , потому что они находятся на , противоположных сторонам числовой прямой.

Еще одна важная вещь, которую нужно знать об отрицательных числах, заключается в том, что они становятся меньше , чем дальше они уходят от 0. На этой числовой строке чем дальше слева находится число , тем оно меньше. Итак, 1 меньше, чем 3 .-2 меньше 1 , а -7 меньше -2 .

Абсолютное значение

Когда мы говорим об абсолютном значении числа, мы говорим о расстоянии этого числа от 0 на числовой прямой. Помните, как мы сказали, что 4 и -4 были на одном и том же расстоянии от 0? Это означает, что 4 и -4 имеют одинаковое абсолютное значение. Представим взятие абсолютного значения числа двумя прямыми вертикальными линиями | | .Например, | -3 | = 3. Это читается как «абсолютное значение отрицательных трех равно трем».

Важно запомнить: хотя отрицательные числа уменьшаются на , по мере удаления от 0, их абсолютное значение на больше . Например, -10 меньше -6. Однако | -10 | больше чем | -6 | потому что -10 имеет большее расстояние от 0, чем -6.

Вычисление с отрицательными числами

Использовать отрицательные числа в арифметике довольно просто.Следует помнить лишь о нескольких особых правилах.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, полезно подумать о числовой прямой, по крайней мере, сначала. Давайте посмотрим на эту проблему: 6-7 . Даже если 7 больше 6, вы можете вычесть его точно так же, как и любое другое число, если вы понимаете, что есть числа , меньшие , чем 0.

6-7 = -1

Хотя числовая линия позволяет легко представить себе эту проблему, есть еще один прием, который вы могли бы использовать для ее решения.

Во-первых, на мгновение игнорируйте отрицательные знаки. Просто найдите разницу между двумя числами. В данном случае это означает решение для 7 — 6 , что составляет 1. Затем посмотрите на свою исходную проблему. Какое число имеет наибольшее абсолютное значение ? В данном случае это -7. Поскольку -7 — отрицательное число, наш ответ тоже будет единичным: -1. Поскольку абсолютное значение -7 больше, чем расстояние между 6 и 0 , наш ответ в итоге будет на меньше 0 .

Добавление отрицательных чисел

Как бы вы решили эту проблему?

6 + -7

Вы не поверите, но это точно та же проблема, которую мы только что решили!

Это потому, что знак «плюс» просто указывает на то, что вы объединяете два числа. Когда вы объединяете отрицательное число с положительным, сумма будет на минус , чем исходное число, так что вы также можете получить , вычитая . Итак, 6 + -7 — то же самое, что 6-7 , и оба они равны -1.

6 + -7 = -1

Всякий раз, когда вы видите положительный и отрицательный знаки рядом друг с другом, вы должны читать это как отрицательный . Так же, как 6 + -7 это то же самое, что 6-7:

  • 10 + -11 равно 10-11.
  • 3 + -2 равно 3-2.
  • 50 + -100 равно 50-100.

Это верно всякий раз, когда вы добавляете отрицательное число. Добавление отрицательного числа всегда аналогично вычитанию абсолютного значения этого числа.

Вычитание отрицательных чисел

Если сложение отрицательного числа на самом деле равно вычитанию, как вы, , вычтите отрицательное число? Например, как решить эту проблему?

6 — — 3

Если вы догадались, что вы прибавите их, то вы правы. И вот почему: помните, как мы сказали, что отрицательное число противоположно положительному? Мы сравнили их с вами и вашим зеркальным отображением. Ваше зеркальное отображение — ваша противоположность, а это значит, что ваше зеркальное отображение — это , а вы — .Другими словами, противоположность вашей противоположности — это и .

Таким же образом вы можете упростить эти два знака минус, прочитав их как два отрицания. Первый знак минус отрицает — или делает отрицательным — второе. Поскольку отрицательное или противоположное отрицательное значение является положительным, вы можете заменить оба знака минус знаком плюс. Это означает, что вы решите это:

6 + 3

Это намного проще решить, верно? Если это кажется запутанным, вы можете просто запомнить этот простой трюк: Когда вы видите два знака минус подряд , замените их знаком плюс .

Таким образом, 6 минус отрицательное 3 равно 6 плюс 3. Это равно 9. Другими словами 6 — -3 равно 9.

Может быть сложно запомнить все правила сложения и вычитания чисел. Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как вам помочь.

Умножение и деление отрицательных чисел

Есть два правила умножения и деления чисел:

  • Если вы умножаете или делите два положительных или отрицательных числа, результатом будет положительный .
  • Если вы умножаете или делите положительное число и отрицательное число, ваш результат будет отрицательным .

Вот и все! Вы умножаете или делите как обычно, а затем пользуетесь этими правилами, чтобы определить положительный или отрицательный ответ. Например, возьмем эту задачу: -3 -4 . 3 ⋅ 4 равно 12. Поскольку оба умноженных числа были отрицательными, ответ — положительный : 12.

-3 ⋅ -4 = 12

С другой стороны, если бы мы умножили 3 ⋅ -4 , мы получили бы другой ответ:

3 ⋅ -4 = -12

Опять же, 3 ⋅ 4 равно 12.Но поскольку один из наших кратных отрицательный , а другой положительный , наш ответ также должен быть отрицательным : -12.

То же самое и с делением. -40 / -10 равно 4, потому что — 40 и -10 оба являются отрицательными . Однако -40 / 10 равно -4, потому что одно число отрицательное , а другое положительное .

/ ru / algebra-themes / reverse-and-inverse-numbers / content /

Зачем нам отрицательное число? — Цвета-Нью-Йорк.com

Зачем нам отрицательное число?

Зачем нужны отрицательные числа? Отрицательные числа помогают нам описывать значения меньше нуля.

Как в реальной жизни используются отрицательные числа?

Депозиты обычно обозначаются положительным знаком, а снятие средств — отрицательным знаком. Отрицательные числа используются в прогнозировании погоды, чтобы показать температуру в регионе. Отрицательные целые числа используются для отображения температуры по шкале Фаренгейта и Цельсия.

Как вы объясняете учащимся отрицательные числа?

Чтобы помочь своим ученикам лучше понять, я говорю им думать об отрицательных числах следующим образом:

  1. Знак минус показывает, насколько далеко число от нуля.
  2. Итак, -3 означает, что вы находитесь на 3 шага от 0, а -5 означает, что вы находитесь на 5 шагах от нуля.
  3. Следовательно, -5 меньше -3, потому что вы находитесь дальше от нуля.

Где используются отрицательные числа?

Отрицательные числа используются для описания значений по шкале ниже нуля, например шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры.Законы арифметики для отрицательных чисел гарантируют, что здравое представление об обратном отражено в арифметике.

0,01 — отрицательное число?

Нет, 0 не является положительным или отрицательным числом. Положительное число — это число больше 0. 0 не больше 0, поэтому 0 не является положительным.

Какое наибольшее отрицательное число?

–1

Какое наименьшее отрицательное число?

Наименьшее отрицательное число — это 1, за которой следует 31 ноль, что интерпретируется как -231.Поскольку дополнение до двоек по существу является арифметическим по модулю 232, было бы столь же логично интерпретировать его как 231. Отрицательное значение выбрано таким образом, чтобы отрицательные целые числа были в точности теми, у которых 1 является старшим битом.

Какое значение имеют действительные числа?

Действительные числа — это все числа в числовой прямой, и их бесконечно много. Их типы и категории важны, потому что они могут дать вам больше информации о проблеме, которую вы изучаете.Существуют также мнимые числа, о которых мы поговорим позже в этой главе.

Что означают действительные числа?

Вещественное число, в математике величина, которая может быть выражена в виде бесконечного десятичного разложения. Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа и дроби (или рациональные числа), а также иррациональные числа.

Может ли действительное число быть отрицательным?

Вещественные числа могут быть положительными или отрицательными и включать ноль.Их называют действительными числами, потому что они не являются мнимыми, а это другая система чисел.

Число 1 — настоящее число?

Тип числа, который мы обычно используем, например 1, 15,82, −0,1, 3/4 и т. Д. Положительные или отрицательные, большие или маленькие, целые или десятичные числа — все это действительные числа. Их называют «действительными числами», потому что они не являются мнимыми числами.

0,25 — действительное число?

Десятичное число 0,25 — рациональное число. Он представляет собой дробь или соотношение 25/100.И 25, и 100 — целые числа.

13 — это действительное число?

13 — рациональное число. Рациональное число — это любое отрицательное, положительное или нулевое число, которое можно записать в виде дроби.

Является ли √ 13 иррациональным числом?

Квадратный корень из √13 — иррациональное число.

13 — это идеальный квадрат?

13 — не идеальный квадрат.

Почему 13 — иррациональное число?

13 не является иррациональным числом, потому что его можно выразить как частное двух целых чисел: 13 ÷ 1.

Является ли 13 рациональным числом и почему?

13 — рациональное число, потому что его можно выразить как частное двух целых чисел: 13 ÷ 1. Ссылки по теме: 13 — иррациональное число?

Какой тип числа 13 в квадрате?

иррациональное число

Отрицательное 13 3 — рациональное или иррациональное число?

Десятичная форма 13/3 — рациональное число.

Как узнать, рационально это или иррационально?

Чтобы показать, что рациональные числа плотны: иррациональное число — это число, которое НЕ является рациональным.Его нельзя выразить дробью с целыми числами в числителе и знаменателе. Когда иррациональное число выражается в десятичной форме, оно продолжается вечно, не повторяясь.

Является ли отрицательное 3 рациональным числом?

Отрицательное число 3, которое также можно записать как -3, является рациональным числом.

положительных и отрицательных чисел | SkillsYouNeed

Стандартные числа, любые больше нуля, называются «положительными» числами. Мы не ставим перед ними знак плюса (+), потому что в этом нет необходимости, поскольку, по общему мнению, числа без знака положительны.

Числа меньше нуля известны как «отрицательные» числа. Перед ними стоит знак минус (-), чтобы указать, что они меньше нуля (например, -10 или « минус 10 »).


Визуализация отрицательных и положительных чисел

Вероятно, самый простой способ визуализировать отрицательные и положительные числа — использовать числовую линию, инструмент, с которым вы, возможно, хорошо знакомы, особенно если у вас есть дети в начальной школе.

Выглядит примерно так:

Числовая линия может помочь вам визуализировать как положительные, так и отрицательные числа, а также операции (сложение и вычитание), которые вы можете с ними делать.

Когда вам нужно вычислить сложение или вычитание, вы начинаете с первого числа и перемещаете второе число разрядов вправо (для сложения) или влево (для вычитания).

Эта числовая линия является упрощенной версией, но вы можете нарисовать их с любым числом, если хотите. Большим преимуществом числовой линии является то, что ее очень легко нарисовать самостоятельно на обратной стороне конверта или клочка макулатуры, а также довольно сложно ошибиться в расчетах.Если вы внимательно подсчитываете количество мест, которые вы двигаетесь, вы получите правильный ответ.

Рабочие примеры

Что такое 10-25?

Начиная с 10, вы перемещаете 25 чисел влево и сразу видите, что ответ — -15.


Что такое −17 + 23?

На этот раз вы начинаете с -17 и перемещаетесь на 23 позиции вправо. Сразу видно, что ответ — 6.



Вычитание отрицательных чисел

Если вы вычесть отрицательное число, два отрицательных числа объединятся, чтобы получить положительное.

−10 — (- 10) не равно −20. Вместо этого вы можете думать об этом как о том, как повернуть один из отрицательных знаков вертикально, пересечь другой и получить плюс. Тогда сумма будет -10 + 10 = 0.

Краткое примечание по скобкам


Для наглядности, никогда нельзя писать два знака минус рядом без скобок.

Итак, если вас попросят вычесть отрицательное число, оно всегда будет заключено в скобки, чтобы вы могли увидеть, что использование двух отрицательных знаков было намеренным.

-10-10 неверно (и сбивает с толку)

-10 — (- 10) правильно (и яснее)


Умножение и деление на положительные и отрицательные числа

При умножении или делении с комбинациями положительных и отрицательных чисел вы можете упростить процесс, сначала игнорируя знаки (+/-) и просто умножая или деля числа, как если бы они оба были положительными. Получив числовой ответ, вы можете применить очень простое правило, чтобы определить знак ответа:

  • Когда знаки двух чисел совпадают с , ответ будет положительным .
  • Если знаки двух чисел разные , ответ будет отрицательный .

Итак:

(положительное число) × (положительное число) = положительное число
(отрицательное число) × (отрицательное число) = положительное число

Но:

(положительное число) × (отрицательное число) = отрицательное число

В качестве побочного вопроса это каким-то образом объясняет, почему у вас не может быть квадратного корня из отрицательного числа (подробнее об этом читайте на нашей странице в Special Numbers and Concepts ).Квадратный корень — это число, которое умножается само на себя, чтобы получить число. Вы не можете умножить число на само по себе, чтобы получить отрицательное число. Чтобы получить отрицательное число, вам нужно одно отрицательное и одно положительное число.

Правило работает так же, когда вам нужно умножить или разделить более двух чисел. Четное количество отрицательных чисел даст положительный ответ. Нечетное количество отрицательных чисел даст отрицательный ответ.

Рабочих примеров

Что такое −5 × 25?

5 x 25 равно 125.Но здесь у вас есть одно отрицательное и одно положительное число, поэтому знак ответа будет отрицательным. Следовательно, ответ −125 .

Что такое −40 ÷ 8?

40 ÷ 8 равно 5. Опять же, у вас есть одно положительное и одно отрицательное число, поэтому знак ответа будет отрицательным. Ответ: −5 .

Что такое −50 ÷ −5?

50 ÷ 5 равно 10. На этот раз у вас два отрицательных числа, поэтому знак ответа будет положительным.Ответ: 10 .

Что такое −100 × −2?

100 x 2 равно 200. Опять же, у вас два отрицательных числа, поэтому ответ положительный. Это 200 .

Что такое 10 x −2 × 3?

Для начала рассмотрим первую часть расчета. 10 x 2 = 20. У вас есть одно положительное и одно отрицательное число, поэтому знак ответа будет отрицательным, то есть −20.

Теперь возьмем вторую часть вычисления: −20 × 3.Итак, 20 × 3 = 60, но опять же, у вас есть отрицательное и положительное число, поэтому ответ будет отрицательным: −60 .



Почему умножение двух отрицаний дает положительный ответ?


Тот факт, что отрицательное число, умноженное на другое отрицательное число, дает положительный результат, часто может сбивать с толку и казаться нелогичным.

Чтобы объяснить, почему это так, вспомните числовые линии, использованные ранее в этой статье, поскольку они помогают объяснить это визуально.

  1. Сначала представьте, что вы стоите на числовой прямой в нулевой точке и обращены в положительном направлении, то есть в направлении 1, 2 и так далее. Вы делаете два шага вперед, делаете паузу, затем делаете еще два шага. Вы переместились 2 × 2 шага = 4 шага.
    Следовательно, положительный × положительный = положительный
  2. Теперь вернитесь к нулю и повернитесь в отрицательном направлении, то есть в сторону −1, −2 и т. Д. Сделайте два шага вперед, затем еще два. Теперь вы стоите на −4. Вы переместились на 2 × −2 шага = −4 шага.
    Следовательно, отрицательный × положительный = отрицательный

В обоих этих примерах вы двигались вперед (то есть в том направлении, куда вы смотрели), что является положительным ходом.

  1. Вернитесь к нулю снова, но на этот раз вы собираетесь идти назад (отрицательное движение). Снова повернитесь в положительном направлении и сделайте два шага назад. Теперь вы стоите на -2. Положительное (направление, в котором вы смотрите) и отрицательное (направление, в котором вы движетесь) приводят к отрицательному движению.
    Следовательно, положительный × отрицательный = отрицательный
  2. Наконец, снова вернемся к нулю, повернемся в отрицательном направлении. Теперь сделайте два шага назад, , а затем еще два шага назад. Вы стоите на +4. Повернувшись в отрицательном направлении и идя назад ( два отрицательных ), вы добились положительного результата.
    Следовательно, отрицательный × отрицательный = положительный

  1. Два негатива компенсируют друг друга. Вы можете увидеть это в речи:
    • «Просто сделай это!» положительный стимул к чему-либо.
    • «Не делай этого!» просит кого-то чего-то не делать. Это отрицательно.
    • «Не делай этого» означает «пожалуйста». Два отрицания компенсируют и дают положительный результат как в математике, так и в речи.
  2. Знаки складываются физически. Когда у вас есть два отрицательных знака, один переворачивается, и они складываются, чтобы получить положительный. Если у вас есть положительный и отрицательный ответ, останется один штрих, и ответ будет отрицательным. Это простая и наглядная памятная записка, хотя она не обязательно удовлетворит тех, кто хочет понять правило.

Заключение

Отрицательные знаки могут выглядеть немного устрашающе, но правила, регулирующие их использование, просты и понятны. Помните об этом, и у вас не будет проблем.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это числовая строка:

Отрицательные числа (-) Положительные числа (+)

«-» — отрицательный знак. «+» — положительный знак

Отсутствие знака означает положительный результат

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .

Играй с этим!

На числовой прямой положительное значение идет вправо, а отрицательное — влево.

Попробуйте использовать ползунки ниже и посмотрите, что получится:

числа / изображения / номер-строка-add.js? sub = n

Воздушные шары и гири

Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

К этой корзине привязаны воздушные шары и гирьки:

  • Воздушные шары подтягиваются ( положительный )
  • И грузики тянутся вниз ( минус )

Добавление положительного числа

Сложение положительных чисел — это просто сложение.

Мы можем добавить воздушные шары (мы добавляем положительное значение )

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: 2 + 3 = 5

действительно говорит

«Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

Мы можем забрать воздушные шары (мы вычитаем положительное значение )

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 — 3 = 3

действительно говорит

«Положительный 6 минус Положительный 3 равно Положительный 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

Мы можем складывать веса (мы добавляем отрицательных значений)

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 + (−3) = 3

действительно говорит

«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного значения) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляют корзину опускаться.

Значит, результат тот же :

  • (+6) — (+3) = (+3)
  • (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами, при вычитании положительного совпадает с при добавлении отрицательного .

Вычитание отрицательного числа

Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательных значений)

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: Что такое 6 — (−3)?

6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что добавить!

Два отрицания дают положительный результат

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного значения Добавление

Положительное и отрицательное вместе …

Вычитание положительного
или
Сложение отрицательного
равно
Вычитание

Пример: Что такое 6 — (+3)?

6 — (+ 3) = 6 3 = 3

Пример: Что такое 5 + (−7)?

5 + (- 7) = 5 7 = −2

Вычитание негатива…

Вычитание отрицательного числа аналогично Добавление

Пример: Что такое 14 — (−4)?

14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

Правило Пример
+ (+) Два одинаковых знака превращаются в знак плюс 3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5
— (-) 6 — (- 3) = 6 + 3 = 9
+ (-) Два непохожих знака превращаются в знак минуса 7 + (- 2) = 7 2 = 5
— (+) 8 — (+ 2) = 8 2 = 6

Они «как знаки», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковые).

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два знака типа становятся положительным знаком

Два знака , отличных от , становятся отрицательным знаком

Пример: Что такое 5 + (- 2)?

+ (-) — это , в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5 + (- 2) = 5 2 = 3

Пример: Что такое 25 — (- 4)?

— (-) — это , как знаки , поэтому они превращаются в положительный знак , .

25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

Начальный отрицательный

Что, если мы начнем с отрицательного числа?

Использование числовой линии может помочь:

Пример: Что такое −3 + (+ 2)?

+ (+) — это , как знаки , поэтому они становятся положительным знаком , .

−3 + (+ 2) = −3 + 2


Начните с −3 на числовой прямой,
двигайтесь вперед 2, и вы получите −1

−3 + (+ 2) = −3 + 2 = −1

Пример: Что такое −3 + (- 2)?

+ (-) — это в отличие от знаков , поэтому они становятся отрицательным знаком .

−3 + (- 2) = −3 2


Начните с −3 в числовой строке,
вернитесь на 2, и вы получите −5

−3 + (- 2) = −3 2 = −5

А теперь поиграйся!

Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я говорю: «Не ешь ли , а НЕ !», Я говорю, что не хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда вы сделали!

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

. . .
+ + ⇒ + друг друга мой друг
+ — ⇒ — друг врага — мой враг
— + ⇒ — враг друга — мой враг
— — ⇒ + враг врага — мой друг

Пример банка

Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Таким образом, банк должен забрать отрицательные 10 долларов.

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов, поэтому у вас будет:

80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 = 90

долларов

Итак, вы получаете $ 10, еще на свой счет.

Длинный пример, который вам может понравиться

Очки союзника

Элли может быть непослушным или милым. Так сказали родители Элли

«Если вы будете любезны, мы добавим 3 балла (+3).
Если вы непослушны, снимаем 3 балла (−3).
Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку ».

Союзник начинает день с 9 очками: 9
Мама Элли обнаруживает пролитое молоко: 9 — 3 = 6

Тогда папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить».

Как «отменить» минус 3?
Мы добавляем еще 3 обратно!

Итак, мама вычисляет: 6 — (−3) = 6 + 3 = 9

Итак, когда мы вычитаем отрицательное число, мы получаем
балла (т.е.е. так же, как добавление очков).


Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично Добавление

Несколько дней спустя. У Элли 12 очков.



Мама добавляет 3 очка, потому что комната Элли чистая. 12 + 3 = 15



Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на диаграмме.Мама считает: 15 — (+3) = 12



Папа видит, как Элли чистит собаку. Пишет на графике «+3». Мама считает: 12 + (+3) = 15



Элли бросает камень в окно.Папа пишет на диаграмме «−3». Мама считает: 15 + (−3) = 12

См. Как « 15 — (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Неважно, вычтите ли вы положительные баллы
или добавите отрицательные,
вы все равно потеряете баллы.

Таким образом, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Попробуйте эти упражнения…

Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

А еще попробуйте эти вопросы:

11715, 11716, 11717, 11718, 11719, 11720, 11721, 3445, 3446

1.5 Почему ОТРИЦАТЕЛЬНО ВРЕМЯ ОТРИЦАТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО?

Когда мы открываем отрицательные числа, мы, естественно, даже без сомнения, предполагаем, что они подчиняются тем же законам арифметики, что и обычные положительные счетные числа. То есть нам нравится верить, что основные законы, такие как \ (a \ times b = b \ times a \) и \ (a \ times 1 = a \) и \ (a \ times 0 = 0 \), выполняются для всех числа, как положительные, так и отрицательные, и что мы можем раскрывать скобки даже с отрицательными записями и т. д.Конечно, эти правила предполагают, что мы знаем, что априори умеют умножать на отрицательные числа.

УМНОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ НОМЕРОВ

В начальной учебной программе умножение вводится в контексте целых счетных чисел и соответственно определяется как повторное сложение. Например, \ (4 \ times 5 \) читается как «четыре группы по пять» и вычисляется следующим образом: \ (4 \ times 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \).

На самом деле довольно удивительно, что \ (5 \ times 4 \), «пять групп по четыре», дает тот же числовой ответ, что и четыре группы по пять.Вычисление совершенно иное, когда числа 5 и 4 служат для смены ролей.

Вопрос: Как бы вы убедили молодого студента в том, что 193 группы из 307 человек наверняка будут иметь такую ​​же ценность, как 307 групп из 193 человек? Почему мы хотим, чтобы верили, что \ (a \ times b = b \ times a \) для подсчета чисел? (ПОДСКАЗКА: расставьте точки в прямоугольные массивы.)

Повторное сложение позволяет нам умножить положительное число и отрицательное число.Например, \ (2 \ times \ left (-3 \ right) \) можно читать как «две группы отрицательных трех» и поэтому вычисляется как \ (2 \ times \ left (-3 \ right) = — 3 + \; — 3 = -6 \). По сваям и ямам это выглядит так:

Однако интерпретация отрицательного числа, умноженного на положительное, и отрицательного, умноженного на отрицательное, путем повторного сложения проблематична.

Что может означать \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 \)? «Отрицательные две группы по три» не имеет смысла.

И \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) одинаково странно: «две отрицательные группы из трех отрицательных».”

На самом деле умножение здесь не имеет значения в контексте повторяющегося сложения. Мы вступили на новую территорию, и если мы хотим открыть наш мир для новых типов чисел, неудивительно, что ранее конкретные, буквальные определения начинают ошибаться. Итак, мы должны провести изощренный сдвиг мышления, отказавшись от вопроса Что такое умножение? вместо этого спросить:

Как бы мы хотели, чтобы вело себя умножение?

Комментарий: Позвольте мне подчеркнуть этот момент.На вопрос: «Что означает умножение отрицательных чисел?» Это вводящий в заблуждение вопрос, и это не тот вопрос, который нужно задавать на данном этапе нашей работы: мы все еще пытаемся решить проблему того, каким может быть умножение в мире отрицательных чисел. Чтобы приблизиться к этому, мы сначала должны четко определить, какие особенности арифметики, по нашему мнению, должны оставаться верными.

ДУМАЯ НАШЕ ЧЕРЕЗ ВЕЩИ

Положительные, умноженные на Отрицательные : Кажется убедительным придерживаться концепции «повторного сложения» для произведения отрицательного и положительного:

\ (2 \ times \ left (-3 \ right) = \) две группы отрицательных трех \ (= — 3 + -3 = -6 \).

Большинство людей согласны с тем, что мы должны придерживаться этой идеи.

Отрицательное время Положительное : Это проблематично: \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 =? \)

Но кажется убедительным сказать, что закон коммутативности \ (a \ times b = b \ times a \) должен выполняться для всех типов чисел, включая отрицательные числа. В этом случае мы можем написать:

\ (\ left (-2 \ right) \ times 3 = 3 \ times \ left (-2 \ right) \) три группы отрицательных двоек \ (= — 2 + -2 + -2 = -6 \).

Отрицательное время Отрицательное : Как нам вычислить \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \)?

Применение закона коммутативности и представление об этом как о \ (\ left (-3 \ right) \ times \ left (-2 \ right) \) в этом случае не помогает.Итак, какая математика могла бы направить нас в нашем мышлении?

Мы действительно сказали, что нам нравится верить, что все обычные законы арифметики (\ (a \ times b = b \ times a \), \ (a \ times 1 = a \), \ (a \ times 0 = 0 \), раскрывающиеся скобки и т. д.) должны выполняться для всех типов чисел. Поскольку модель площади — это всего лишь представление, которое мы верим в раскрывающиеся скобки, модель площади должна работать и для отрицательных чисел!

КЛЮЧЕВОЙ ПРИМЕР: Вот три способа вычислить \ (17 \ times 18 \), считая \ (17 \) либо \ (10 ​​+ 7 \), либо \ (20+ \ left (-3 \ right) \) и \ (18 \) как \ (10 ​​+ 8 \) или \ (20 + \ left (-2 \ right) \).Несмотря на то, что геометрически нет смысла иметь отрицательную длину стороны геометрической фигуры, мы видим, что математика, которую представляет каждая диаграмма, по-прежнему является правильной математикой.

Но есть четвертая возможная картина!

Математика раскрывающихся скобок предполагает, что правильное значение \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) равно \ (+ 6 \). (У продукта должен быть ответ \ (306 \).)

УПРАЖНЕНИЕ: Нарисуйте четыре диаграммы, представляющие \ (26 \ times 35 \), и используйте последнюю, чтобы продемонстрировать, почему мы должны установить \ (\ left (-4 \ right) \ times \ left (-5 \ right) = +20 \).

ТОЧНЫЙ ЛОГИЧЕСКИЙ АРГУМЕНТ, ПОЧЕМУ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ВРЕМЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ

Как только мы договоримся, что \ (2 \ times \ left (-3 \ right) = — 6 \) (посредством повторного сложения) и \ (\ left (-3 \ right) \ times 2 = -6 \) (через a убежденность в коммутативности), что отрицательное умножение на отрицательное — положительное, является вынужденным логическим следствием следующих двух основных убеждений арифметики: \ (a \ times 0 = 0 \) и \ (a \ left (b + c \ right) = ab + ас \). Вот почему:

Докажем \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = + 6 \).

По первому правилу мы должны сказать: \ (\ left (-2 \ right) \ times 0 = 0 \).

Переписывая первый ноль, мы должны согласиться с тем, что: \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (3+ \ left (-3 \ right) \ right) = 0 \).

При распределении мы также должны согласиться с тем, что: \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 + \ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = 0 \).

Это читается так: \ (- 6 + \ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = 0 \).

Отсюда следует, что \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) должно быть \ (+ 6 \).

УПРАЖНЕНИЕ: Создайте аналогичный аргумент, чтобы установить, что \ (\ left (-4 \ right) \ times \ left (-5 \ right) = + 20 \).

ТАК… ЧТО ТАКОЕ УМНОЖЕНИЕ?

В контексте положительных целых чисел это повторное сложение.

В контексте положительных и отрицательных целых чисел я лично не знаю, что это такое, кроме математически согласованной операции, установленной так, что если \ (a \) и \ (b \) являются положительными целыми числами, то \ ( a \ times \ left (-b \ right) = — ab \), и с логическими следствиями \ (\ left (-a \ right) \ times b = b \ times \ left (-a \ right) = — ab \) и \ (\ left (-a \ right) \ times \ left (-b \ right) = ab \).

Люди пытаются придать всему этому конкретный смысл с помощью моделей солдат, идущих по числовым линиям, меняющих направление, систем прибыли и долга, работы с температурами выше и ниже нуля и т. Д. Каждая модель хороша для иллюстрации НЕКОТОРЫХ аспектов арифметики отрицательных чисел, но не всех. Например, идея «убрать пять градусов холода — это то же самое, что добавить пять градусов тепла» может сработать для некоторых, чтобы объяснить, почему \ (- \ left (-5 \ right) \) должно равняться \ (5 \) , но это не объясняет само по себе, почему отрицательное, умноженное на отрицательное, дублируется положительным.

С педагогической точки зрения нам нужно отойти от начинающих учеников думать об умножении отрицательных чисел с помощью моделей, которые пытаются, но в какой-то момент должны потерпеть неудачу, «объяснить», что такое умножение отрицательных чисел. Вместо этого мы должны начать с обсуждения того, что, по нашему мнению, должно быть правдой в отношении умножения в целом и как оно ведет себя. Расширение скобок с помощью модели площади дает студентам убедительную иллюстрацию того, что математика «хочет», чтобы отрицательные значения, умноженные на отрицательные, были положительными.(А для студентов, готовых к этому, это подтверждает аксиоматический подход.) Что на самом деле означает «отрицательное, умноженное на отрицательное, — положительное» — я понятия не имею. Я просто знаю, что это алгебраически непротиворечиво.

УПРАЖНЕНИЕ: a) Докажите, что \ (- a \) и \ (\ left (-1 \ right) \ times a \) — одно и то же число. (ПОДСКАЗКА: \ (a + \ left (-1 \ right) \ times a = 1 \ times a + \ left (-1 \ right) \ times a = \ ldots \).

Оставить комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2019 Штирлиц Сеть печатных салонов в Перми

Цифровая печать, цветное и черно-белое копирование документов, сканирование документов, ризография в Перми.