Вещественные переменные: Вещественная переменная | это… Что такое Вещественная переменная?

Вещественная переменная | это… Что такое Вещественная переменная?

Веще́ственные, или действи́тельные^[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Содержание 1 Примеры 2 Определения 2.1 Аксиоматическое определение 2.1.1 Примечания 2.2 Пополнение рациональных чисел 2.3 Дедекиндовы сечения 2.4 Бесконечные десятичные дроби 3 Счетность множества 4 Примечания 5 Ссылки 6 См. также

Примеры

• Рациональные числа — 32, 36/29.
• Иррациональные числа — π, .

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Отношение является отношением линейного порядка:
   • Для любых или ;
   • Если и , то a = b для любых ;
   • Если и , то для любых ;
2. Порядок согласован со структурой поля:
   • Если , то для любых ;
   • Если и , то .
3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:
   • Пусть — непустые подмножества, такие что для любых и , тогда существует такое, что для любых и .

Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех

x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

1. Для всех x из A все
2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_i}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {r_i} + {q_i} = {r_i + q_i} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

1. для любых и ;
2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x² > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где d_i являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все

d_i равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

• Комплексные числа

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные

 

Вещественная переменная | это… Что такое Вещественная переменная?

Веще́ственные, или действи́тельные^[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Содержание 1 Примеры 2 Определения 2.1 Аксиоматическое определение 2.1.1 Примечания 2.2 Пополнение рациональных чисел 2.3 Дедекиндовы сечения 2.4 Бесконечные десятичные дроби 3 Счетность множества 4 Примечания 5 Ссылки 6 См. также

Примеры

• Рациональные числа — 32, 36/29.
• Иррациональные числа — π, .

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Отношение является отношением линейного порядка:
   • Для любых или ;
   • Если и , то a = b для любых ;
   • Если и , то для любых ;
2. Порядок согласован со структурой поля:
   • Если , то для любых ;
   • Если и , то .
3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:
   • Пусть — непустые подмножества, такие что для любых и , тогда существует такое, что для любых и .

Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

1. Для всех x из A все
2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна

структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны. )

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_i}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {r_i} + {q_i} = {r_i + q_i} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

1. для любых и ;
2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x² > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где d_i являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все d_i равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

• Комплексные числа

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные

 

Математика 447: Вещественные переменные | NetMath в Иллинойсе

Университет Иллинойса Урбана-Шампейн

---

Краткий обзор

Тщательное развитие элементарного вещественного анализа для тех, кто намеревается пройти курсы повышения квалификации по математике. Темы включают свойство полноты действительной системы счисления; основные топологические свойства n-мерного пространства; сходимость числовых последовательностей и рядов функций; свойства непрерывных функций; основные теоремы о дифференцировании и интегрировании по Риману. Зачет не дается ни за MATH 447, ни за MATH 424, ни за MATH 444.

---

Syllabus

Math 447 Syllabus.pdf

---

Предварительные требования

Предварительные требования: MATH 241 или эквивалент; юниор стоя; МАТЕМАТИКА 347 или МАТЕМАТИКА 348

Кредитные часы:

3

Стоимость обучения

Студенты бакалавриата
Аспиранты
Стоимость учебных курсов	Нет

Учащиеся должны иметь возможность просматривать онлайн-задания, записывать решения, а затем сканировать или фотографировать свои письменные работы и загружать их в Moodle.

Для студентов со степенью бакалавра стоимость обучения по этому курсу оценивается на уровне выпускников. Тем не менее, нельзя получить кредит уровня выпускника для курсов, пронумерованных ниже 400 в Университете Иллинойса.

---

Тестирование

Экзамены:  Этот курс состоит из трех 90-минутных промежуточных тестов и 3-часового итогового экзамена.

Информация прокуратуры:  Экзамены по этому курсу можно сдавать онлайн.

Учащиеся с датой начала курса до 1 января 2023 года  должны использовать информацию проктора на этой странице для сдачи экзаменов.

Учащимся с датой начала курса 1 января 2023  или позже следует обратиться к этой странице для получения информации о сдаче экзамена.

После регистрации учащиеся найдут актуальную информацию о сдаче экзаменов и все другие требования к курсу на панели управления учащегося Nexus.

 

---

Варианты курсов

Обратите внимание:

Студенты, в настоящее время зарегистрированные в программе магистратуры Университета Иллинойса, не смогут зарегистрироваться на 16-недельные курсы NetMath в течение учебного года. Поступившим выпускникам UIUC будет разрешено зарегистрироваться на курсах Summer Session II NetMath.

На этой странице содержится информация о непрерывном курсе для самостоятельного обучения. Если вы студент UIUC, заинтересованный в прохождении курса летом, вас может заинтересовать курс Summer Session II.

---

Преподаватель

Отдельные студенты, зачисленные на этот курс, закрепляются за преподавателем курса.

---

Хронология курса

Время курса начинается с даты обработки вашей регистрации. Этот курс длится 16 недель с возможностью покупки до двух продлений на 1 месяц.

Учащиеся, чей курс начался до 01.01.2023:

Нажмите здесь, чтобы получить информацию о продлении этого курса. Нажмите здесь, чтобы подать заявку на продление.

Учащиеся с датами начала курса 01.01.2023 или позже:

Информация о продлении размещена здесь. Заявки на расширение необходимо подавать через студенческую панель Nexus Dashboard. Доступ к Nexus будет предоставлен после регистрации на курс.

Реальные и номинальные — Econlib

Реальные и номинальные — Econlib

Направляющие ECONLIB

,

ДОЛЯ
ПУНКТ:

Справочник по экономике для старших классов

Дополнительные материалы для учащихся старших классов

Определения и основы

Определение: номинальная стоимость товара — это его стоимость в денежном выражении. Реальная стоимость — это его стоимость с точки зрения какого-либо другого товара, услуги или набора товаров. Примеры:

• Номинал: этот компакт-диск стоит 18 долларов. Расходы Японии на науку и технологии составляют около 3 триллионов иен в год.
• Реальный: Год обучения в колледже стоит примерно столько же, сколько Toyota Camry. Эти билеты на «Ван Хален» стоили мне еды на три недели!

Относительная цена — еще один термин для обозначения реальной цены товара или услуги. Когда мы говорим, что относительная цена компьютеров упала в последние годы, мы имеем в виду, что цена компьютеров 90 152 по отношению к 90 153 или измеряемая 90 152 по отношению к другим товарам и услугам 90 153, таким как телевизоры или автомобили, снизилась. Относительные цены на отдельные товары и услуги могут снижаться, даже если все номинальные цены растут из-за инфляции.

Реальная стоимость по сравнению с номинальной, на Investopedia.com

Реальная стоимость представляет собой номинальную стоимость с поправкой на инфляцию. Реальная стоимость получается путем удаления влияния изменений уровня цен из номинальной стоимости данных временного ряда, чтобы получить более правдивую картину экономических тенденций. Номинальная стоимость данных временного ряда, таких как валовой внутренний продукт и доходы, корректируется с помощью дефлятора для получения их реальных значений….

Валовой внутренний продукт, из Краткой экономической энциклопедии

На практике БЭА сначала использует исходные данные о производстве для оценки номинального ВВП , или ВВП в текущих долларах. Затем он корректирует эти данные с учетом инфляции, чтобы получить реальный ВВП в размере . Но БЭА также использует цифры номинального ВВП для получения «доходной части» ВВП в бухгалтерском учете с двойной записью. На каждый доллар ВВП приходится доллар дохода. Цифры доходов сообщают нам об общих тенденциях доходов корпораций и частных лиц. Другие агентства и частные источники сообщают обрывочные данные о доходах, но данные о доходах, связанные с ВВП, обеспечивают всеобъемлющий и последовательный набор цифр доходов для Соединенных Штатов. Эти данные могут быть использованы для решения важных и противоречивых вопросов, таких как уровень и рост располагаемого дохода на душу населения, отдача от инвестиций и уровень сбережений….

В новостях и примерах

День налоговой свободы: американцы работают 4 месяца, чтобы заплатить налоги в этом году. Количество времени зависит от штата. День налоговой свободы в 2018 году отмечается 19 апреля. TaxFoundation. org.

День налоговой свободы® — это день, когда нация в целом заработала достаточно денег, чтобы оплатить общий налоговый счет за год. День налоговой свободы собирает все федеральные, государственные и местные налоги и делит их на национальный доход. В 2018 году американцы заплатят 3,39 трлн долларов в виде федеральных налогов и 1,80 трлн долларов в виде государственных и местных налогов, а общий налоговый счет составит 5,19 долларов.трлн, или 30% национального дохода. В этом году День налоговой свободы приходится на 19 апреля, через 109 дней после начала 2018 года. [Примечание редактора: это полезное объяснение было первоначально опубликовано на сайте Answers.com, но больше недоступно на этом сайте.]

В экономике номинальная стоимость чего-либо представляет собой его денежную стоимость в разные годы. Реальные значения корректируются с учетом различий в уровне цен в те годы. Примеры включают набор товаров, таких как валовой внутренний продукт и доход.