Самая сложная формула в мире: Самая длинная химическая формула

Содержание

Величайшая формула математики | Математика, которая мне нравится

Без дальнейших церемоний, вот она:

   

Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).

Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: — основание натурального логарифма, — квадратный корень из и . Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.

Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы.

Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.

Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:

   

Здесь измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение для конкретного значения , используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.

Соответствующая формула для косинуса:

   

Наконец,

   

Число — константа, равная , и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number.

Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.

Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:

   

Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: , она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу в целые степени:

   

Это означало, что можно заменить в последней формуле на и получить:

   

Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения умножаются на .

То есть получаем в точности

   

Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.

Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от , требуется только ее незначительная модификация.

Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число , и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для — это . Вспомним из тригонометрии, что радиан — это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен , а синус равен .

Поэтому

   

, или

   

Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.

Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics, http://brightstartutors.com/blog/2010/01/29/the-greatest-formula-in-mathematics.

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле

:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

 

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при

n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

 

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

 

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

 

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда,

сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

 

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

 

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

 

Таблица умножения

К оглавлению…

 

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

 

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

ТОП-100 Важнейших формул по физике — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по физике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по физике. Формулы по физике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении физических задач. На этой странице сайта представлены 100 важнейших формул по физике.

 

Изучать ТОП-100 Важнейших формул по физике онлайн:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Создание сложных формул в Microsoft Excel

В этом уроке мы разберем, как создать сложную формулу в Excel, а также рассмотрим типичные ошибки, возникающие у начинающих пользователей по невнимательности. Если Вы совсем недавно работаете в Excel, то советуем сначала обратиться к уроку, где мы обсуждали создание простых формул.

Как создать сложную формулу в Excel

В приведенном ниже примере, мы продемонстрируем, каким образом Excel вычисляет сложные формулы, опираясь на порядок выполнения операций. В данном примере мы хотим вычислить величину налога с продаж за услуги по питанию. Чтобы это осуществить, запишем следующее выражение в ячейке D4: =(D2+D3)*0,075. Эта формула сложит стоимость всех позиций счета, а затем умножит на размер налога с продаж 7,5% (записанный как 0,075).

Excel придерживается порядка действий и сначала складывает значения в скобках: (44.85+39.90)=$84.75. Затем умножает это число на налоговую ставку: $84.75*0.075. Результат вычислений показывает, что налог с продаж составит $6.36.

Чрезвычайно важно вводить сложные формулы с верным порядком действий. Иначе расчеты Excel могут оказаться неточными. В нашем случае при отсутствии скобок, в первую очередь выполняется умножение, и результат будет неверным. Скобки являются лучшим способом определения порядка вычислений в Excel.

Создание сложных формул, используя порядок действий

В примере ниже мы воспользуемся ссылками совместно с количественными данными для создания сложной формулы, которая вычислит полную стоимость по счету за обеспечение питанием. Формула вычислит стоимость каждого пункта меню, а затем сложит все значения вместе.

  1. Выделите ячейку, которая будет содержать формулу. В нашем примере мы выбрали ячейку C4.
  2. Введите в нее следующее выражение: =B2*C2+B3*C3. Действия в формуле будут выполняться в соответствии с правилами порядка, следовательно, первым идет умножение: 2.29*20=45.80 и 3.49*35=122.15. Затем эти значения будут суммированы для вычисления полной стоимости: 45.80+122.15.
  3. Выполните проверку, затем нажмите Enter на клавиатуре. Формула вычислит и отобразит результат. В нашем случае результат вычислений показывает, что полная стоимость заказа составляет $167.95.

Вы можете добавить скобки в любую формулу, чтобы упростить ее восприятие. Несмотря на то, что в данном примере это не изменит результат вычислений, мы все равно можем заключить умножение в скобки. Этим мы уточним, что оно выполняется до сложения.

Excel не всегда предупреждает об ошибках в формуле, поэтому Вам необходимо самостоятельно проверять все Ваши формулы. Чтобы узнать, как это можно сделать, изучите урок Проверка формул.

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера / Хабр

Посмотрев

лекцию

профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог

понять, почему тождество Эйлера

является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А

здесь

вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».


Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».


Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer
Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».


Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.
Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.


Рисунок 6.0: марка, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.
Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.
Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

  • Константа e связана со степенными функциями.
  • Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
  • Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге

Introductio in analysin infinitorum

. Позже другие люди увидели, что эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от — 1 до -1.

e в степени i, умноженного на ϕ (фи) = cos ϕ + i * sin ϕ


Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=ex.
Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.
Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (23) + (02) + (01) + (20) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.


Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).
Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.


Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.


Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления
Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.


Рисунок 15: таблица букв древних греков.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.


Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами


Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.

0: число для обозначения ничего

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.


Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.
Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.


Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.
Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.
Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²


Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).


Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.
Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.


Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестиугольника к длине описанной окружности.
Рисунок 25: Numberwarrior

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.




Рисунок 26: математический папирус Ахмеса.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 262-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.



В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.


Рисунок 29: Формула Мэчина для пи

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!




Рисунок 30: Juliabloggers

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.


Рисунок 31: комната пи

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.


Рисунок 32.0: Science Friday

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.


Рисунок 32.1: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи
e: история экспоненциального роста

e

— это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть

e

тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем

e

, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.



Рисунок 33: источник

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 20 зерна на первую клетку шахматной доски, 21 зерна на вторую клетку доски, 22 зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 263 зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.


Рисунок 34: источник: Wikipedia

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.


Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана
Рисунок 36: мальтузианская катастрофа

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом

i

, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i

2

будет равно -1.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).



Рисунки 37 и 38: комплексные числа

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера


Рисунок 40: тождество Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

Самая большая молекула в мире. Получена самая большая ароматическая молекула

Почему ароматические соединения назвали ароматическими — большая загадка. Не все представители того класса веществ, который попадает под современное определение этого термина, имеет запах, и наоборот: не все, что пахнет, ароматическое.

Критериев ароматичности существует несколько, но вкратце можно описать все ароматичные вещества как состоящие из молекул, в которых атомы выстраиваются в кольцо, а электроны, которые участвуют в образовании химических связей, обобществляются. Другими словами, если в формуле вещества есть кольцо, то соединение, скорее всего, ароматическое. Есть легенда о том, что кольцевая структура открылась академику Кекуле во сне про обезьянок, которые водят хоровод, держа друг друга за хвосты.

Самое простое ароматическое вещество — бензол

Обобществление электронов придает ароматическим соединениям особые физические и химические свойства — например, выдающуюся устойчивость. Чтобы соединение стало ароматическим, число электронов, участвующих в образовании связей, должно соответствовать правилу Хюккеля, то есть равняться (4n+2), где n — целое число. Редкие исключения из этого правила объясняются ароматичностью Мебиуса.

Хюккелевские ароматические молекулы могут иметь в кольце 6, 10, 14, 18, 22 и более атомов. Однако синтез больших колец с количеством атомов более 22 — дело довольно тонкое; в больших кольцах ароматичность теряется. Фиксировать их можно, если вместо отдельных атомов использовать сложные молекулярные фрагменты с жесткой геометрией. До сих пор самой большой ароматической молекулой, которую удалось синтезировать, был додекафирин — циклическая молекула, состоящая из двенадцати пятиугольных пиррольных фрагментов, соединенных по мотиву порфирина (цикл из четырех пирролов, соединенных через мостики-атомы углерода, входит в состав гема, хлорофилла, феофитина).


Martin D. Peeks et al. / Nature, 2016

В этот раз химики пошли на рекорд и «собрали» из порфириновых структур самую большую ароматическую молекулу в истории. Ее структурная формула напоминает колесо автомобиля с «покрышкой» из замкнутых в кольцо порфиринов, изнутри укрепленной плоским каркасом.

Молекула содержит 78 сопряженных электронов. Это абсолютный рекорд. Ее огромные для микромира размеры позволили ученым сравнить магнитные свойства ароматического соединения с магнитными свойствами в наноколечках из металлов и полупроводниковых материалов. Раньше это было сделать очень сложно, поскольку размеры наноколец на порядок превышали размеры самых крупных наночастиц металлов. Исследование опубликовано в журнале

1. Но начнем мы совсем с другой стороны. Прежде чем отправиться в путешествие к глубинам материи, давайте обратим свой взор вверх.

Например, известно, что до Луны в среднем почти 400 тысяч километров, до Солнца — 150 миллионов, до Плутона (который уже не виден без телескопа) — 6 миллиардов, до ближайшей звезды Проксимы Центавра — 40 триллионов, до ближайшей крупной галактики туманности Андромеды — 25 квинтиллионов, и наконец до окраин обозримой Вселенной — 130 секстиллионов.

Впечатляюще, конечно, но разница между всеми этими «квадри-», «квинти-» и «сексти-» не кажется столь уж огромной, хотя они и различаются между собой в тысячу раз. Совсем другое дело микромир. Разве в нем может быть скрыто так уж много интересного, ведь ему просто негде там поместиться. Так говорит нам здравый смысл и ошибается .

2. Если на одном конце логарифмической шкалы отложить самое маленькое известное расстояние во Вселенной, а на другом — самое большое, то посередине окажется… песчинка. Её диаметр — 0.1 мм.

3. Если положить в ряд 400 млрд песчинок, их ряд обогнёт весь земной шар по экватору. А если собрать эти же 400 млрд в мешок, весить он будет около тонны.

4. Толщина человеческого волоса — 50–70 микронам, то есть их 15–20 штук на миллиметр. Для того чтобы выложить ими расстояние до Луны, потребуется 8 триллионов волос (если складывать их не по длине, а по ширине, конечно). Поскольку на голове у одного человека их около 100 тысяч, то если собрать волосы у всего населения России, до Луны хватит с лихвой и даже еще останется.(-35) метра. Давайте проделаем наш стандартный «увеличительный» эксперимент в последний раз. Квантовая струна становится удобного размера, и мы держим ее в руке как карандаш. При этом нейтрино будет в 7 раз больше Солнца, а атом водорода в 300 раз превысит размеры Млечного Пути.

20. Наконец мы подошли к самой структуре мироздания — масштабу, на котором пространство становится похожим на время, время на пространство, и происходят разные другие причудливые штуки. Дальше уже ничего нет (наверное)…

Александр Таранов 06.08.2015

Водоплавающие волки

На побережье Британской Колумбии (Канада) обитают удивительные водоплавающие волки. Они питаются лососем, ракушками, погибшими тюленями, сельдью, икрой и т. п. Морские волки отлично плавают и способны преодолеть расстояние в десяток километров за один заплыв, а спят и спариваются на пляжах местных островов, где не обитает никакая живность, кроме них самих.

Аукцион чужих вещей

Немецкая авиакомпания Lufthansa продаёт багаж своих пассажиров с молотка. Если за забытым чемоданом никто не обратится в течение трёх месяцев, его продают на аукционе. При этом чемоданы не вскрываются. Ни продавец, ни покупатель не знают, что обнаружится внутри чужого багажа.

Смертоносное облако

В 536 году на Земле произошла катастрофа, из-за которой погибло 80% населения Китая и Скандинавии, а Европа опустела на треть. Землю накрыло гигантское пылевое облако, которое заблокировало солнечный свет. По этой причине начался ужасный голод, который и сократил численность жителей планеты. Причины возникновения пылевого облака неизвестны по сей день.

Первая «молекула жизни» на Земле

Ключевым событием зарождения жизни на Земле стало появление молекул, способных к самовоспроизведению (репликации), то есть передаче генетической информации потомству. Все живые существа на Земле (за исключением нескольких групп вирусов, о принадлежности которых к живому до сих пор ведутся дискуссии), как и все вымершие организмы, которые удалось обнаружить, обладают ДНК-геномами. Их фенотип определяется кодируемыми в этих геномах разнообразными РНК и белками. Тем не менее есть весомые причины полагать, что появлению ДНК-белкового мира три с половиной миллиарда лет назад предшествовали более простые формы жизни, основанной на РНК (см. «Наука и жизнь» № 2, 2004 г.). А совсем недавно, в статье Сандры Бэнэк (Институт этномедицины, США) с соавторами, опубликованной в ноябрьском номере онлайн журнала «PLOS», была подтверждена гипотеза ещё более ранних форм жизни, существовавших до РНК-организмов. Согласно этой гипотезе, генетическая информация в первых живых системах могла передаваться при помощи пептидных нуклеиновых кислот (ПНК). Такие гипотетические полимерные молекулы, как полагают, построены из мономеров (2-аминоэтил)глицина (АЭГ). Цепи ПНК на основе АЭГ синтезированы и активно исследуются. В частности, ряд фармацевтических компаний изучает возможность их медицинского применения в качестве «генетических глушителей», блокирующих работу определённых генов.

Однако для принятия этой оригинальной гипотезы до недавнего времени существовало весьма серьёзное препятствие — аминоэтилглицин в природе не обнаруживался. И вот группе американских и шведских учёных удалось выявить присутствие АЭГ в цианобактериях. Это открытие поистине неожиданно и может привести к пересмотру наших представлений о зарождении жизни на Земле.

цианобактерия земля метаболический глицин

Цианобактерии — примитивные живые организмы, которые были одними из наиболее важных продуцентов атмосферного кислорода на ранних этапах развития нашей планеты. Самые древние окаменелые останки цианобактерий, обнаруженные в раннеархейских слоях породы в Западной Австралии, датируются 3,5 миллиарда лет. Некоторые их представители, например, составляют значительную часть океанического пикопланктона, к которому относят бактерии и наиболее мелкие одноклеточные водоросли, свободно перемещающиеся в толще воды. Другие населяют экстремальные экосистемы, такие как геотермальные источники, гиперсолёные озёра и вечная мерзлота.

Oscillatoria — представитель рода цианобактерий. Эта сине-зелёная водоросль обычно обитает в хранилищах с питьевой водой. Фото Боба Блэйлока (Вов Blaylock).

Авторы публикации изучали содержание АЭГ в чистых культурах цианобактерий и обнаружили его в восьми штаммах из пяти существующих морфологических групп. Причём содержание АЭГ было довольно существенным — от 281 до 1717 нг/г общей массы бактерий. Для подтверждения наблюдения аналогичное исследование провели на цианобактериях, обитающих в естественных условиях — водоёмах пустынь Монголии, морских водах Катара (заливах Бахрейна, Сальва и Персидском) и реках Японии, и обнаружили, что содержание АЭГ в них в среднем даже выше, чем в чистых культурах.

Геномы двух штаммов (Nostос РСС 7120 и Sупtсhосуstis РСС 6803), по счастью, полностью расшифрованы, что позволило авторам соотнести уровень содержания АЭГ со степенью филогенетического родства цианобактерий. Оказалось, что, несмотря на всего 37%-ное сходство геномов, уровень продукции АЭГ у этих штаммов был очень близким. Обнаружение АЭГ во всех пяти морфологических группах цианобактерий говорит о том, что его продукция — неизменно присутствующая (высоко консервативная) и эволюционно примитивная особенность этих микроорганизмов.

Метаболические функции и эволюционная роль АЭГ пока остаются неизвестными. Тем не менее полученные результаты позволяют по крайней мере не отвергать соблазнительную гипотезу, что присутствие АЭГ в цианобактериях — «эхо» ранних этапов зарождения жизни на Земле, имевших место до появления РНК-мира.

Мы привыкли к тому, что молекула – это нечто крохотное, незримое, существующее скорее в воображении бородатых химиков, нежели в реальности. Однако самая большая молекула в природе – ДНК – вытянется на длину спички, а это более 4 см! Читайте о гигантских молекулах и их исключительном влиянии на наследственность человека. Узнайте об их участии в расследовании преступлений, об искусственно созданных молекулах, и о том, от какого яда чуть не умер путешественник Кук.

1. ДНК – хранилище сведений об устройстве организма

ДНК принимает вид бесконечной винтовой лестницы с миллионами ступенек, в химической структуре которых хранится информация о каждом нашем свойства, будь то количество пальцев, дислокация печени или оттенок кожи. Когда рабочий белок-фермент движется по ступенькам, клетка штампует копию этой информации – своеобразный чертеж, согласно которому происходит любое действие в организме.


Каждая спираль может менять свою длину. Растянем хорошенько ДНК и поразимся ее габаритам:

  • 10 млрд атомов содержит ДНК первой хромосомы человека;
  • 46 шт. – так мало ДНК нужно, чтобы записать полное досье на его тело;
  • 2 м – на такую длину растягиваются эти 46 молекул, сцепленные вместе;
  • 30 раз по маршруту «Земля – Солнце» и обратно – такова длина ДНК из всех клеток одного человека;
  • 700 терабайт сведений хранится в 1 г ДНК.

Зачем криминалисты берут ДНК на анализы

Злоумышленники аккуратно стирают отпечатки пальцев и пользуются перчатками, но никому еще не удавалось стереть свои генетические следы. Эксперту достаточно реснички, обрезка ногтя, капли слюны, оставленной на сигарете или жевательной резинке, чтобы установить виновника. Из взятого на месте преступления биоматериала выделяют ДНК, многократно копируют ее и в специальном геле под воздействием электрического поля «ранжируют» по длине и массе.

Затем молекулы красят и сравнивают образцы с хромосомами предполагаемых «хозяев». У каждого индивидуума на ДНК проявляется неповторимый полосатый узор, и если обнаруживаются совпадения, значит, владелец образца найден.

Впервые методом ДНК-дактилоскопии воспользовался английский генетик Алек Джеффрис. В 1985 году у него попросили помощи в идентификации серийного убийцы, с чем ученый блестяще справился. Метод также применяют для опознания останков жертв катастроф и террористических актов, для установления спорного отцовства.

2. Соединительный белок титин

Смысл существования ДНК заключается в том, что по ней клетки создают главные стройматериалы – белки. Белковые молекулы поскромнее своей матрицы, но и коротышками их не назовешь. Самый длинный белок обнаружен в камбаловидной мышце голени. Это титин, который состоит из 38 тысяч аминокислот и достигает 3 млн атомных единиц массы.

Более короткие разновидности титина обнаружены в остальных мускулах и даже в сердце. Задача этого белка – соединить воедино двигательные белки мышечной клетки, чтобы обеспечить их мощные сокращения.

Можно ли создать человеческими руками белковую молекулу

Да, можно. Первым искусственно получили крохотный по меркам органической химии белок инсулин, отвечающий за стабильность уровня сахара в крови. Однако ресурсы для этого затратили немалые:

  • 10 лет ушло на расшифровку состава инсулина;
  • 227 химических реакций потребовалось для сборки белка;
  • 0,001 % – такое количество инсулина от запланированного количества получили в итоге.

А живая клетка поджелудочной железы тратит на синтез необходимого объема инсулина 10 секунд. Поэтому гораздо выгоднее оказалось генетически модифицировать кишечную палочку, чтобы бактерия взяла на себя труд по созданию медицинского белка.

3. Молекула-змея из картошки

Прозаический продукт, источающий дразнящие запахи на сковородке, прячет в клубнях одну из длиннейших молекул в мире. Картофельный крахмал по структуре похож на бусы без конца и края. Десятки тысяч бусин, роль которых выполняет глюкоза, выстраиваются в бесконечные цепи, обеспечивая растение запасом питания до весны.


Живые организмы склонны создавать длинные полимерные углеводы. Посчитаем их молекулярную массу:

  • компонент крахмала амилопектин – до 6 млн атомных единиц;
  • целлюлоза, за счет которой достигается твердость дерева – до 2 млн;
  • хитин, образующий феноменально легкий панцирь краба и жука – 260 тыс.

Но даже им далеко до гликогена, 100 г которого способна накопить печень. Ветвистая, словно клубок водорослей, шарообразная молекула гликогена весит до 100 млн атомных единиц!

Крахмал на службе у человека

Раньше всего научились использовать крахмал в пищу. Для этого природа предоставила человеку сотни съедобных растений: пшеницу, кукурузу, рис, каштаны, фасоль, бананы. Правда, для лучшего усвоения крахмал подвергают тепловой обработке, при которой часть химических связей между бусинами-глюкозами разрывается, и молекулы укорачиваются.

Приятная глазу белизна и плотность постельного белья, кружев, сорочек и скатертей достигается за счет подкрахмаливания. Для такой процедуры крахмал разводят в холодной воде, ткань прополаскивают в ней, сушат, а потом отглаживают. На целлюлозно-бумажных комбинатах это вещество добавляют к бумажной массе для жесткости.

В советское время на основе крахмала варили обойный клей. В детских садиках с помощью крахмального клейстера учили малышей искусству аппликации и папье-маше.

4. Синтетические полимеры

Искусственный белок создать сложно, но если вещество обладает менее сложной структурой, то химическое предприятие справится с этой задачей. Производство полимеров, от довоенных целлулоида и плексигласа до современных термостойких пластмасс, обеспечивает человека тысячами предметов.


Молекулы полимеров достигают значительной величины:

  • полиакриламид – до 850 тыс. атомных единиц;
  • полипропилен – до 700 тыс.;
  • нейлон – до 80 тыс.

Как полимеры людям жить помогают

Небольшая перестройка структуры полимера влечет за собой кардинальное изменение его свойств. Из полимерных веществ получают пластмассы, резину, клеи, лаки, ткани. В конце прошлого века химические технологии добрались до зубных кабинетов. Теперь новые материалы превращаются в пломбы, штифты, вкладки, протезы и специальную массу для оттиска челюсти.

Последний десяток лет ознаменовался практическим применением трехмерной печати, с помощью которой изготавливают не только элементы конструктора лего, но и детали космических аппаратов. Фотополимеры, предназначенные для этой цели, дают точность до 16 микрон.

5. Ботулотоксин, притаившийся во вздутой банке

Масса молекулы этого ядовитого белка – 150 тыс. атомных единиц. Вырабатывают его бактерии клостридии, характерная особенность которых – непереносимость кислорода. Они охотно размножаются в консервах, особенно грибных, толстых залежавшихся колбасах. Угостившись пищей, которую облюбовали клостридии, человек погибает от паралича дыхательных мышц.


Ботулотоксин быстро попадает в организм не только через слизистую кишечника, но и через поверхность глаз и кожи. Во время Второй мировой американские военные всерьез рассматривали его как биологическое оружие.

6. Небелковый нейротоксин

В 1774 году капитан британских королевских военно-морских сил Джеймс Кук отравился печенью морской рыбы, которую в тот день готовили на ужин. Судовой хирург спас его рвотными средствами, но только спустя 100 лет обнаружили причину внезапного паралича капитана. Выяснилось, что рыба питалась моллюском сигуатерой, а тот – водорослями-динофлагеллятами, которые вырабатывают майтотоксин.


Молекулярная масса майтотоксина составляет 3700 атомных единиц, и это крупнейшая молекула небелковой природы, которую вырабатывает живой организм. В 1993 году химики Токийского университета исследовали ее структуру с помощью технологии ядерного магнитного резонанса. Оказалось, что молекула выглядит, как цепочка из 32 шестиугольных колечек, изогнутая наподобие поднявшей голову гусеницы.

Загадочный мир гигантских молекул не раскрыт до конца. Ученые найдут их новые свойства, видоизменят структуру и непременно поставят на службу человеку.

Формулы по физике для ЕГЭ и 7-11 класса

Рубрика: Подготовка к ЕГЭ по физике

Шпаргалка с формулами по физике для ЕГЭ

и не только (может понадобиться 7, 8, 9, 10 и 11 классам).

Для начала картинка, которую можно распечатать в компактном виде.

Механика

  1. Давление                      Р=F/S
  2. Плотность                   ρ=m/V
  3. Давление на глубине жидкости   P=ρ∙g∙h
  4. Сила тяжести                       Fт=mg
  5. 5. Архимедова сила                 Fa=ρж∙g∙Vт
  6. Уравнение движения  при равноускоренном  движении

X=X0+υ0∙t+(a∙t2)/2                    S= (υ2υ02)/2а         S= (υ+υ0) ∙t /2

  1. Уравнение скорости  при равноускоренном движении υ=υ0+a∙t
  2. Ускорение            a=(υυ 0)/t
  3. Скорость при движении по окружности υ=2πR/Т
  4. Центростремительное ускорение  a=υ2/R
  5. Связь периода с частотой ν=1/T=ω/2π
  6. II закон Ньютона                F=ma
  7. Закон Гука                          Fy=-kx
  8. Закон Всемирного тяготения  F=G∙M∙m/R2
  9. Вес тела, движущегося с ускорением а↑      Р=m(g+a)
  10. Вес тела, движущегося с ускорением а↓      Р=m(g-a)
  11. Сила трения                     Fтр=µN
  12. Импульс тела                       p=mυ
  13. Импульс силы                     Ft=∆p
  14. Момент силы                    M=F∙ℓ
  15. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей Eп=mgh
  16. Потенциальная энергия упруго деформированного тела Eп=kx2/2
  17. Кинетическая энергия тела Ek=mυ2/2
  18. Работа            A=F∙S∙cosα
  19. Мощность     N=A/t=F∙υ
  20. Коэффициент полезного действия η=Aп/Аз
  21. Период колебаний математического маятника T=2π√ℓ/g
  22. Период колебаний пружинного маятника T=2 π √m/k
  23. Уравнение гармонических колебаний  Х=Хmax∙cos ωt
  24. Связь длины волны, ее скорости и периода λ= υТ

Молекулярная физика и термодинамика

  1. Количество вещества              ν=N/ Na
  2. Молярная масса                           М=m/ν
  3. Cр. кин. энергия молекул одноатомного газа Ek=3/2∙kT
  4. Основное уравнение МКТ      P=nkT=1/3nm0υ2
  5. Закон Гей – Люссака (изобарный процесс)    V/T =const
  6. Закон Шарля (изохорный процесс)    P/T =const
  7. Относительная влажность φ=P/P0∙100%
  8. Внутр. энергия идеал. одноатомного газа U=3/2∙M/µ∙RT
  9. Работа газа A=P∙ΔV
  10. Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс)    PV=const
  11. Количество теплоты при нагревании  Q=Cm(T2-T1)
  12. Количество теплоты при плавлении   Q=λm
  13. Количество теплоты при парообразовании  Q=Lm
  14. Количество теплоты при сгорании топлива  Q=qm
  15. Уравнение состояния идеального газа PV=m/M∙RT
  16. Первый закон термодинамики   ΔU=A+Q
  17. КПД тепловых двигателей         η= (Q1 — Q2)/ Q1
  18. КПД идеал. двигателей  (цикл Карно)     η= (Т1 — Т2)/ Т1

https://5-ege.ru/formuly-po-fizike-dlya-ege/

Электростатика и электродинамика – формулы по физике

  1. Закон Кулона F=k∙q1∙q2/R2
  2. Напряженность электрического поля E=F/q
  3. Напряженность эл. поля точечного заряда E=k∙q/R2
  4. Поверхностная плотность зарядов             σ = q/S
  5. Напряженность эл. поля бесконечной плоскости E=2πkσ
  6. Диэлектрическая проницаемость ε=E0/E
  7. Потенциальная энергия взаимод. зарядов W= k∙q1q2/R
  8. Потенциал φ=W/q
  9. Потенциал точечного заряда φ=k∙q/R
  10. Напряжение U=A/q
  11. Для однородного электрического поля U=E∙d
  12. Электроемкость C=q/U
  13. Электроемкость плоского конденсатора C=S∙εε0/d
  14. Энергия заряженного конденсатора W=qU/2=q²/2С=CU²/2
  15. Сила тока I=q/t
  16. Сопротивление проводника R=ρ∙ℓ/S
  17. Закон Ома для участка цепи I=U/R
  18. Законы послед. соединения I1=I2=I, U1+U2=U, R1+R2=R
  19. Законы паралл. соед.   U1=U2=U, I1+I2=I, 1/R1+1/R2=1/R
  20. Мощность электрического тока P=I∙U
  21. Закон Джоуля-Ленца Q=I2Rt
  22. Закон Ома для полной цепи I=ε/(R+r)
  23. Ток короткого замыкания (R=0)      I=ε/r
  24. Вектор магнитной индукции B=Fmax/ℓ∙I
  25. Сила Ампера Fa=IBℓsin α
  26. Сила Лоренца Fл=Bqυsin α
  27. Магнитный поток Ф=BSсos α      Ф=LI
  28. Закон электромагнитной индукции Ei=ΔФ/Δt
  29. ЭДС индукции в движ проводнике Ei=Вℓυsinα
  30. ЭДС самоиндукции Esi=-L∙ΔI/Δt
  31. Энергия магнитного поля катушки Wм=LI2/2
  32. Период колебаний кол. контура T=2π ∙√LC
  33. Индуктивное сопротивление XL=ωL=2πLν
  34. Емкостное сопротивление Xc=1/ωC
  35. Действующее значение силы тока Iд=Imax/√2,
  36. Действующее значение напряжения Uд=Umax/√2
  37. Полное сопротивление Z=√(Xc-XL)2+R2

Оптика

  1. Закон преломления света     n21=n2/n1= υ 1/ υ 2
  2. Показатель преломления      n21=sin α/sin γ
  3. Формула тонкой линзы       1/F=1/d + 1/f
  4. Оптическая сила линзы       D=1/F
  5. max интерференции: Δd=kλ,
  6. min интерференции: Δd=(2k+1)λ/2
  7. Диф.решетка             d∙sin φ=k λ

Квантовая физика

  1. Ф-ла Эйнштейна для фотоэффекта  hν=Aвых+Ek, Ek=Uзе
  2. Красная граница фотоэффекта νк = Aвых/h
  3. Импульс фотона P=mc=h/ λ=Е/с

Физика атомного ядра

  1. Закон радиоактивного распада N=N0∙2t/T
  2. Энергия связи атомных ядер

ECB=(Zmp+Nmn-Mя)∙c2

СТО

  1. t=t1/√1-υ2/c2
  2. ℓ=ℓ0∙√1-υ2/c2
  3. υ2=(υ1+υ)/1+ υ1∙υ/c2
  4. Е = mс2

Скачать эти формулы в doc: formuly-po-fizike-5-ege.ru (файл расположен на 5-ege.ru).

Рекомендуем:

10 самых важных уравнений в истории

Уравнения — важный инструмент для описания того, сколько вещей в естественном мире функционируют и взаимодействуют. Но одни уравнения оказали более сильное влияние, чем другие.

Здесь мы представляем 10 таких уравнений, а также помогаем ответить на некоторые общие вопросы об уравнениях в сети.

СВЯЗАННЫЕ: 15 НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫХ АЛГОРИТМОВ, ПОМОГЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИКИ, ВЫЧИСЛЕНИЙ И ФИЗИКИ

Какое уравнение является самым длинным в мире?

Согласно Sciencealert, самое длинное математическое уравнение содержит около 200 терабайт текста.Эта задача, получившая название булевой проблемы троек Пифагора, была впервые предложена калифорнийским математиком Рональдом Грэхемом еще в 1980-х годах.

Почему уравнения важны?

Уравнения используются каждый день для многих, многих вещей. Они помогают вам искать в Интернете, заставлять ваш компьютер функционировать и удерживать самолеты в воздухе, и это лишь некоторые из них.

Что такое уравнение теории хаоса?

«Теория хаоса — это раздел математики, изучающий поведение динамических систем, которые очень чувствительны к начальным условиям.Теория хаоса — это междисциплинарная теория, утверждающая, что в пределах очевидной случайности хаотических сложных систем есть лежащие в основе закономерности, постоянные петли обратной связи, повторение, самоподобие, фракталы и самоорганизация ». — Википедия.

Уравнение выглядит следующим образом : —

Изменено на основе news.bitofnews.com

Эта теория эффективно помогает нам иметь дело со сложными системами, поведение которых очень чувствительно к незначительным изменениям условий, так что небольшие изменения могут привести к непредвиденным последствиям.

Теория хаоса — это наука сюрпризов, а не всегда приятных сюрпризов.

10 уравнений, изменивших мир

Вот десять самых важных уравнений, которые изменили мир. Этот список далеко не исчерпывающий и в нем нет определенного порядка.

1. Теорема Пифагора

Источник: Maxpixel

Основное решение школьных уроков математики, это уравнение фактически изменило мир. Это позволило нам составить более точные карты и помочь найти кратчайшее расстояние между объектами; среди других вещей.

Он также широко используется в архитектуре, деревообработке и многих других областях.

2. Исчисление

«Исчисление, первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых или« исчислением бесконечно малых », представляет собой математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — это математическое исследование непрерывных изменений. изучение обобщений арифметических операций ». — Википедия.

Он был разработан независимо великим Исааком Ньютоном и сэром Готфридом Лейбницем.После своего изобретения он соединил алгебру и геометрию как один из столпов математики.

3. Логарифмы

Логарифмы — это еще один тип уравнений, которые изменили мир. Они помогали нам делать утомительные вычисления до того, как появились калькуляторы.

Логарифм — это величина, представляющая степень, до которой необходимо возвести фиксированное число (основание), чтобы получить данное число. Использование таблиц логарифмов позволило исключить многие утомительные шаги в вычислениях в таких областях, как геодезия, навигация и инженерия.

4. Относительность

Источник: Peat Bakke / Flickr

Знаменитые уравнения Эйнштейна по теории относительности не только ответили на многие ранее нерешенные вопросы, но также помогли изменить наш взгляд на время, пространство и гравитацию.

Он используется для объяснения всего, от черных дыр до Большого взрыва и ядерной энергетики, а также GPS на наших телефонах.

5. Нормальное распределение

Сегодня мы все знакомы с графиками колоколообразной кривой.Они помогают описать распределение данных в заданном наборе.

Его можно использовать для чего угодно, от IQ в популяции до результатов экзамена в группе студентов. В рамках нормального распределения большинство точек данных попадают где-то посередине, с меньшим количеством людей в каждую крайность.

6. Уравнение Шредингера

Источник: YassineMrabet / Wikimedia Commons

Уравнение Шредингера необходимо для современных компьютерных микросхем и лазеров.По-видимому, это также помогает удерживать кошек в состоянии анабиоза между жизнью и смертью.

А если серьезно, это уравнение навсегда изменило сферу квантовой физики. Это линейное уравнение в частных производных, которое описывает волновую функцию квантово-механической системы. Его открытие стало важной вехой в развитии квантовой механики.

7. Закон всемирного тяготения Ньютона

«Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что каждая частица притягивает каждую другую частицу во Вселенной с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату. расстояния между их центрами.»- Википедия.

Закон всемирного тяготения Ньютона — одно из самых фундаментальных уравнений физики.

8. Волновое уравнение

» Волновое уравнение описывает поведение волн — вибрирующая струна гитары, рябь в пруду за камнем брошен или свет выходит из лампы накаливания. Волновое уравнение было ранним дифференциальным уравнением, и методы, разработанные для его решения, открыли дверь для понимания и других дифференциальных уравнений », — businessinsider.com.

Он эффективно образует важный компонент электромагнетизма, оптики, гидродинамики и теплопередачи.

9. Второй закон термодинамики

«Это означает, что в замкнутой системе энтропия (S) всегда устойчива или возрастает. Термодинамическая энтропия, грубо говоря, является мерой того, насколько система неупорядочена. Система, которая запускается в упорядоченном, неравномерном состоянии — скажем, в горячей области рядом с холодной — всегда будет иметь тенденцию к выравниванию, при этом тепло будет течь из горячей области в холодную до тех пор, пока не будет равномерно распределено.»- businessinsider.com.

Это помогает нам, среди прочего, понять направление теплопередачи. Эта теория может быть выражена в терминах изменения энтропии системы (dS). В этом уравнении рассчитывается dS путем измерения количества тепла, поступившего в замкнутую систему (δQ), деленного на общую температуру (T) в точке, где произошла теплопередача.

10. Преобразование Фурье

Это уравнение в основном лежит в основе современной сигнальной обработки.Это также важно для анализа сигналов и сжатия данных.

«Преобразование Фурье является существенным для понимания более сложных волновых структур, как человеческой речи. Учитывая сложную, грязную волновую функцию как запись человека разговора, преобразование Фурье позволяет нам нарушить функцию беспорядочный в комбинации ряда простых волн, что значительно упрощает анализ ». — businessinsider.com.

17 Уравнения, которые изменили мир

Ранее в этом году математик Ян Стюарт выпустил превосходную и глубоко исследованную книгу под названием «В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир», в которой рассматриваются самые важные уравнения всех времен и помещаются их в человеческий организм. , а не технический контекст.

Мы спросили профессора Стюарта, почему он решил написать эту книгу:

«Уравнения определенно МОГУТ быть скучными, и они МОГУТ казаться сложными, но это потому, что они часто представлены скучно и сложно. У меня есть преимущество перед школьными учителями математики: я не пытаюсь показать вам, как делать Суммирует себя. Вы можете оценить красоту и важность уравнений, даже не зная, как их решать….. Намерение состоит в том, чтобы поместить их в их культурный и человеческий контекст и приоткрыть завесу их скрытого воздействия на историю. Уравнения — важная часть нашей культуры. Истории, стоящие за ними — люди, которые открыли / изобрели их, и периоды, в которые они жили — завораживают ».

Это должно быть особенно актуально для всех, кто пострадал от финансового кризиса.

Щелкните здесь, чтобы см. 17 уравнений>

Блэка-Шоулза, производное уравнение ценообразования и номер 17 в этом списке помогли вызвать это.

Из переписки по электронной почте с профессором Стюартом:

«На самом деле это довольно простое уравнение с математической точки зрения. Проблемы вызвала сложность системы, моделируемой математикой … ученый-ракетчик, чтобы понять, что давать взаймы сотни миллиардов долларов людям, у которых нет никаких шансов когда-либо их вернуть, — не лучшая идея…. «

Люди слишком серьезно отнеслись к теоретическому уравнению, переоценили его предположения, использовали его для оправдания неверных решений и построили на нем карточный домик на триллион долларов. Это сделало кризис неизбежным:

» Я думаю, что кризис стал неизбежным, когда финансовые инструменты, продаваемые в гигантских количествах, стали настолько сложными, что никто не мог понять ни их ценность, ни риски, которые они влекут за собой. Когда рынки обменивают реальные товары за реальные деньги, излишества могут вырасти только до пределов того, что есть на самом деле.Когда они обменивают виртуальные товары (деривативы) на виртуальные деньги (кредитное плечо), в реальном мире ограничений нет, поэтому рынки могут скакать в Страну Облачных Кукушек ».

Вы можете купить полную книгу здесь.

Какая самая сложная формула? — Реабилитацияrobotics.net

Какая самая сложная формула?

Модель Лагранжа

Что сложнее — физика или математика?

На мой взгляд, физика немного сложнее математики из-за различных концепций, которые необходимо понимать.Также физика требует решения множества задач и математических манипуляций с уравнениями. У математиков есть навыки решения проблем, но не до степени физики.

Какая самая сложная математическая задача?

Сегодняшние математики, вероятно, согласятся, что гипотеза Римана — наиболее значительная открытая проблема во всей математике. Это одна из семи проблем, удостоенных премии тысячелетия, за решение которой выплачивается награда в миллион долларов.

Какое физическое уравнение является самым сложным?

Великая объединенная теория всего

Какая самая простая математическая задача?

Если под «простейшим» вы подразумеваете наиболее легкое для объяснения, то это, возможно, так называемая «гипотеза о простом числе близнецов».Даже школьники могут понять это, но доказательство этого пока побеждает лучших математиков мира. Простые числа — это строительные блоки, из которых можно составить любое целое число.

Какой самый тяжелый класс в колледже?

Органическая химия: вас не должно удивлять, что органическая химия занимает первое место как самый сложный курс в колледже. Этот курс часто называют «убийцей до-медиков», потому что он фактически заставил многих студентов-медиков сменить специализацию.

Почему исчисление 2 такое сложное?

Calc 2 сложен, потому что нет очевидного пути, по которому следует следовать при интеграции, а ключом являются практика и опыт. Знание общих правил и принципов поможет вам только на этом этапе. Практикуйтесь как можно больше и будьте готовы использовать основную математику (особенно геометрию) для решения задач.

Какое исчисление самое сложное?

Исчисление 3

Что сложнее Calc 1 или 2?

Calc 2 проще, потому что это не такие принципиально новые концепции, как в calc 1.Я обнаружил, что вычисление 2 было намного сложнее, чем вычисление 1, только потому, что требовалось ОЧЕНЬ много запоминания. Идеи были простыми, но пытаться запомнить список общих первообразных было адом.

Почему такое сложное исчисление?

Так что гордитесь собой и осознавайте, что вы не одиноки. Множество людей очень тяжело относятся к исчислению. Одна из причин, почему исчисление так сложно, заключается в непонимании природы предмета. Решение многих проблем будет связано с тригонометрией, геометрией, алгеброй и исчислением.

Статистика сложнее вычислений?

Первоначальный ответ: Статистика проще, чем вычисления? Нет, совсем нет. Просто потому, что статистика охватывает гораздо больше вопросов, чем вычисления. Сравнение статистики с исчислением в некоторой степени похоже на сравнение математики с исчислением.

Исчисление сложнее Триггера?

Строгое изучение математического анализа может оказаться довольно трудным. Если вы говорите о «вычислительном» исчислении, то это намного проще. С другой стороны, вычислительный триггер, как его обычно преподают в средней школе, намного проще, чем математический анализ.

Кто на самом деле изобрел исчисление?

Исаак Ньютон

Кто истинный отец математики?

Готфрид Лейбниц

Кто придумал пределы?

Англичанин сэр Иссак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм фон Лейбниц независимо друг от друга разработали общие принципы исчисления (важной частью которых является теория пределов) в семнадцатом веке.

Может ли 0 быть пределом?

При простой оценке уравнения 0/0 не определено.Однако, принимая предел, если мы получим 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какой из них правильный, — это фактически вычислить предел. Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если пытаемся просто оценить предел.

Может ли существовать предел в отверстии?

Если на графике есть дыра на значении, к которому приближается x, и нет другой точки для другого значения функции, то предел все еще существует.

Как доказать, что лимита не существует?

Чтобы доказать, что предела не существует, вам нужно доказать обратное утверждение, т.е.е. Мы пишем limx → 2f (x) = a, если для любого ϵ> 0 существует δ, возможно, зависящее от ϵ, такое, что | f (x) −a | <ϵ для всех x таких, что | x − 2 | <δ .

Где не существует ограничения?

Если график приближается к одному и тому же значению с противоположных сторон, существует предел. Если предел, к которому приближается граф, равен бесконечности, предел неограничен. Предел не существует, если график приближается к другому значению с противоположных направлений.

Может ли предел существовать и не быть непрерывным?

Нет, функция может быть прерывистой и иметь ограничение.Предел — это как раз то продолжение, которое может сделать его непрерывным. Пусть f (x) = 1 при x = 0, f (x) = 0 при x ≠ 0.

Не существует или не существует?

Первое предложение относится к чему-то, что существует сейчас, но не существовало в прошлом. Например: электромобилей в 1999 году не существовало. А второе относится к тому, чего вообще не существует. То, что вы не можете найти нигде в мире.

Где можно использовать не т?

Don’t — сокращение от do not, а does not’t — сокращение от not, и оба они действуют как вспомогательные глаголы.В английском языке слово don’t употребляется, когда речь идет от первого и второго лица во множественном и единственном числе и от третьего лица во множественном числе («я», «ты», «мы» и «они»).

Когда использовать существующие или существующие?

«Существовать» может быть либо инфинитивом, как в «Вселенная начала существовать», либо настоящим временем для всех лиц и чисел, кроме третьего лица единственного числа, как в «Я существую, вы существуете, мы существуем, они существуют». «Существует» — это третье лицо единственного числа в настоящем времени: «он существует, она существует, оно существует».

10 умопомрачительных математических уравнений — Сборник рассуждений

В большинстве случаев математическое уравнение — это просто что-то, что вы запоминаете для теста по математике.Но иногда уравнение может быть намного больше — оно может быть произведением искусства само по себе, без реальной цели, кроме удовольствия. Для сегодняшней публикации я собрал десять самых поразительных, поразительных и безумных уравнений для этой цели. Эти десять уравнений должны убедить любого, что математика — это нечто большее, чем запоминание формул.

1. Личность Эйлера

Очень известное уравнение, тождество Эйлера связывает кажущиеся случайными значения пи, е и квадратный корень из -1.Многие считают его самым красивым уравнением в математике.

Более общая формула:

Когда, значение равно -1, а значение 0, что приводит к идентичности Эйлера, так как -1 + 1 = 0.

2. Формула произведения Эйлера

Символ слева представляет собой бесконечную сумму, а символ справа — бесконечное произведение. В очередной раз теоретически обоснованное Леонардом Эйлером это уравнение связывает натуральные числа (n = 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д.).) слева на простые числа (p = 2, 3, 5, 7, 11 и т. д.) справа. Более того, мы можем выбрать s как любое число больше 1, и уравнение будет верным.

Левая часть — это обычное представление дзета-функции Римана.

3. Интеграл Гаусса

Функция сама по себе является очень некрасивой функцией для интеграции, но когда она выполняется по всей реальной линии, то есть от минус бесконечности до бесконечности, она дает странно чистый ответ.На первый взгляд, конечно, не очевидно, что площадь под кривой является квадратным корнем из числа пи.

Эта формула чрезвычайно важна в статистике, так как представляет собой нормальное распределение.

4. Мощность континуума

Это означает, что мощность действительных чисел равна мощности всех подмножеств натуральных чисел. Это показал Георг Кантор, основоположник теории множеств. Это примечательно тем, что континуум не счетен, так как.

Связанное с этим утверждение — гипотеза континуума, которая утверждает, что между и не существует количества элементов. Интересно, что это утверждение обладает очень странным свойством: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

5. Аналитическое продолжение факториала

Факториальная функция обычно определяется как n! = n (n-1) (n-2)… 1, но это определение «работает» только для положительных целых чисел. Интегральное уравнение также выполняет факториальную работу для дробей и десятичных знаков.И отрицательные числа, и комплексные числа…

Тот же самый интеграл для n-1 определяется как гамма-функция.

6. Теорема Пифагора

Вероятно, самое известное уравнение в этом списке, теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника, где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. Он также связывает треугольники с квадратами.

7. Явная формула последовательности Фибоначчи

где (обратите внимание, что это число является золотым сечением).Хотя многие люди знакомы с последовательностью Фибоначчи (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. Д., Где каждое число является суммой двух предыдущих чисел), немногие знают есть формула для вычисления любого заданного числа Фибоначчи: формула, которая у нас есть выше, где F (n) — это n-е число Фибоначчи. То есть, чтобы найти сотое число Фибоначчи, вам не нужно вычислять первые 99 чисел. Вы можете просто добавить 100 в формулу.

Примечательно, что даже со всеми квадратными корнями и делениями ответ всегда будет точным положительным целым числом.

8. Проблема Базеля

Это уравнение гласит, что если вы возьмете обратную величину всех квадратных чисел, а затем сложите их все вместе, вы получите число Пи в квадрате больше шести. Это было доказано Эйлером. Обратите внимание, что эта сумма — это просто функция в левой части уравнения 2 (формула произведения Эйлера) ранее в этом посте с s = 2. Эта формула является дзета-функцией Римана, мы можем сказать, что дзета 2 — это квадрат Пи. больше шести.

9. Серия гармоник

Это несколько неинтуитивно, потому что в нем говорится, что если вы добавите кучу чисел, которые продолжают уменьшаться (и в конечном итоге становятся нулевыми), они все равно доходят до бесконечности.Однако если возвести все числа в квадрат, сумма не дойдет до бесконечности (в сумме получается число Пи в квадрате над шестью). Гармонический ряд, если вы присмотритесь, на самом деле равен дзете 1.

.

10. Явная формула для функции счета простых чисел

, где определяется как

Вот значение этого уравнения на английском языке:

Простые числа — это числа, у которых нет делителей, кроме 1 и самих себя. Простые числа ниже 100 — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83. , 89, 97.Из этого уже ясно, что нет очевидной закономерности для простых чисел: в некоторых сериях чисел вы получите много простых чисел, в других прогонах вы не найдете простых чисел, и есть ли в серии много простых чисел или нет. простые числа кажутся совершенно случайными.

В течение очень долгого времени математики пытались найти образец для простых чисел. Вышеприведенное уравнение является явной функцией для количества простых чисел, меньших или равных заданному числу.

Вот что означают все буквы:

Как ни странно, эта формула всегда дает точное целое число! Это означает, что для любого числа мы можем подставить его в это уравнение и получить количество простых чисел, меньшее или равное этому числу.Тот факт, что это уравнение существует, означает, что у простых чисел есть некоторая закономерность, хотя нам еще может быть слишком рано для понимания.

Больше математики можно найти в моем другом блоге Epic Math. Кроме того, для одного из моих классов я написал чуть более подробное объяснение (pdf) для # 10, но будьте осторожны — это для математически склонных людей.

Если вам понравился этот пост, обязательно ознакомьтесь с продолжением «10 удивительных математических фактов».

Нравится:

Нравится Загрузка…

Решена сложнейшая математическая задача | Ответы на диофантово уравнение

  • Были найдены еще два ответа на сложную математическую задачу.
  • Задача, называемая «суммированием трех кубов», состоит в том, чтобы найти x, y и z.
  • На поиск решения потребовалось более миллиона вычислительных часов.

    На протяжении десятилетий математическая головоломка ставила в тупик самых умных математиков в мире. x 3 + y 3 + z 3 = k , , где k — это все числа от одного до 100, это диофантово уравнение, которое иногда называют «суммированием трех кубов».»

    Когда есть два или более неизвестных, как в данном случае, изучаются только целые числа. Хитрость заключается в нахождении целых чисел, которые работают для всех уравнений, или чисел для x, y и z, которые все будут равны k. За прошедшие годы ученые решили почти все целые числа от 0 до 100. Последние два оставшихся числа — 33 и 42.

    Вот видео Numberphile, объясняющее, почему эта задача оказалась такой сложной:

    Этот контент импортирован с YouTube. Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

    Ранее в этом году Эндрю Букер из Бристольского университета провел недели с суперкомпьютером, чтобы наконец найти решение для 33. Но 42, которое по совпадению является хорошо известным числом в поп-культуре, оказалось намного сложнее.

    Итак, Букер обратился к профессору математики Массачусетского технологического института Эндрю Сазерленду, а Сазерленд, в свою очередь, обратился за помощью к Charity Engine, которая использует простаивающие, неиспользованные вычислительные мощности более 500 000 домашних ПК для создания краудсорсингового и экологически безопасного суперкомпьютера.

    На вычисление ответов ушло более миллиона часов. Без лишних слов, они следующие:

    X = -80538738812075974, Y = 80435758145817515 и Z = 12602123297335631.

    Ну, , очевидно, .

    «Я чувствую облегчение», — говорит Букер о решении головоломки 65-летней давности, впервые заданной в Кембридже, в заявлении для прессы. «В этой игре невозможно быть уверенным, что ты что-то найдешь. Это немного похоже на попытку предсказывать землетрясения, поскольку у нас есть только приблизительные вероятности.Итак, мы можем найти то, что ищем, через несколько месяцев поиска, или может оказаться, что решение не будет найдено в течение следующего столетия ».

    Дэвид Гроссман Дэвид Гроссман — штатный автор PopularMechanics.com.

    Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на пианино.io

    сложнейших математических задач и уравнений

    Вместе с гипотезой Гольдбаха гипотеза о простых числах-близнецах является наиболее известной в теории чисел — или в исследовании натуральных чисел и их свойств, часто с использованием простых чисел. Поскольку вы знаете эти числа с начальной школы, высказывать предположения легко.

    Когда два простых числа имеют разность, равную 2, они называются двойными простыми числами. Итак, 11 и 13 — простые числа-близнецы, как и 599 и 601. Итак, это факт теории чисел первого дня, что существует бесконечно много простых чисел.Итак, существует ли бесконечно много близнецов простых чисел? Гипотеза Twin Prime говорит «да».

    Пойдем немного глубже. Первое в паре простых чисел-близнецов, за одним исключением, всегда на 1 меньше кратного 6. Итак, второе простое число-близнец всегда на 1 больше, чем кратное 6. Вы можете понять почему, если готовы к следуйте пьянящей теории чисел.

    Все простые числа после 2 нечетны. Четные числа всегда на 0, 2 или 4 больше, чем кратные 6, в то время как нечетные числа всегда на 1, 3 или 5 больше, чем кратные 6.Что ж, одна из этих трех возможностей для нечетных чисел вызывает проблему. Если число на 3 больше, чем кратное 6, то оно имеет множитель 3. Наличие множителя 3 означает, что число не является простым (за единственным исключением самого 3). Вот почему каждое третье нечетное число не может быть простым.

    Как твоя голова после этого абзаца? А теперь представьте себе головную боль каждого, кто пытался решить эту проблему за последние 170 лет.

    Хорошая новость в том, что за последнее десятилетие мы добились многообещающего прогресса.Математикам удавалось подходить к все более и более близким версиям гипотезы о простом близнеце. Это была их идея: проблема с доказательством того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 2? Как насчет доказательства того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 70 000 000? Это было хорошо доказано в 2013 году Итангом Чжаном из Университета Нью-Гэмпшира.

    За последние шесть лет математики улучшили это число в доказательстве Чжана с миллионов до сотен. Уменьшение числа до 2 и будет решением гипотезы о простом близнеце.Самое близкое, что мы подошли — с учетом некоторых тонких технических предположений — 6. Время покажет, не за горами ли последний шаг от 6 до 2, или эта последняя часть будет бросать вызов математикам еще на десятилетия.

    5 самых сложных нерешенных математических задач в мире

    Открытые задачи математической физики — это список самых чудовищных математических загадок физики. Вот пять основных проблем, которые остаются нерешенными

    Физика 7 февраля 2019 г.

    Бенджамин Скусе

    Майк Даннинг / Гетти

    1.Разделение сепаратрисы

    Движущийся маятник может либо качаться из стороны в сторону, либо вращаться по непрерывному кругу. Точка, в которой он переходит от одного типа движения к другому, называется сепаратрисой, и ее можно вычислить в самых простых ситуациях. Однако когда маятник толкают с почти постоянной скоростью, математика разваливается. Есть ли уравнение, которое может описать такую ​​сепаратрису?

    изображений истории науки / Alamy Stock Photo

    2.Навье – Стокса

    Уравнения Навье-Стокса, разработанные в 1822 году, используются для описания движения вязкой жидкости. Такие вещи, как воздух, проходящий над крылом самолета или вода, вытекающая из крана. Но есть определенные ситуации, в которых неясно, ошибочны ли уравнения или вообще нет ответа. Многие математики пытались — и потерпели неудачу — решить эту проблему, в том числе Мухтарбай Отелбаев из Евразийского национального университета в Астане, Казахстан. В 2014 году он потребовал решения, но позже отозвал его.Это проблема, которая стоит больше, чем просто престиж. Это также одна из задач Премии тысячелетия, что означает, что любой, кто ее решит, может претендовать на призовой фонд в размере 1 миллиона долларов.

    Cecile Lavabre / Getty

    3. Экспоненты и размеры

    Представьте себе брызги духов, разливающиеся по комнате. Движение каждой молекулы является случайным, этот процесс называется броуновским движением, даже если движение газа в целом предсказуемо. Есть математический язык, который может описывать подобные вещи, но не идеально.Он может предоставить точные решения, изменяя свои собственные правила, или он может оставаться строгим, но никогда не прийти к точному решению. Может ли он когда-нибудь поставить оба флажка? Это то, что задает проблема экспонент и размеров. Помимо квантовой проблемы холловской проводимости, это единственная проблема в списке, которая хотя бы частично решена. В 2000 году Грегори Лоулер, Одед Шрамм и Венделин Вернер доказали, что точные решения двух проблем броуновского движения могут быть найдены без нарушения правил. Это принесло им медаль Филдса, математический эквивалент Нобелевской премии.Совсем недавно Станислав Смирнов из Женевского университета в Швейцарии решил связанную с этим проблему, в результате чего в 2010 году он был награжден медалью Филдса.

    Godong / Alamy Stock Photo

    4. Теоремы о невозможности

    Существует множество математических выражений, не имеющих точного решения. Возьмите одно из самых известных чисел, пи, которое представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Доказательство того, что число Пи после десятичной точки не может заканчиваться, было одним из величайших достижений в математике.Физики также говорят, что невозможно найти решения определенных проблем, таких как определение точной энергии электронов, вращающихся вокруг атома гелия. Но можем ли мы доказать эту невозможность?

    Tetra Images / Getty

    5. Бокал

    Чтобы понять эту проблему, вам нужно знать о спине, квантовомеханическом свойстве атомов и частиц, таких как электроны, которое лежит в основе магнетизма. Вы можете думать об этом как о стрелке, которая может указывать вверх или вниз. Электроны внутри блоков материалов наиболее счастливы, если они сидят рядом с электронами с противоположным спином, но есть некоторые устройства, где это невозможно.В этих фрустрированных магнитах вращения часто случайным образом переворачиваются, что, как оказалось, является полезной моделью других неупорядоченных систем, включая финансовые рынки. Но у нас есть ограниченные способы математического описания поведения подобных систем. Этот вопрос с вращающимся стеклом спрашивает, можем ли мы найти хороший способ сделать это.

    • См. Полный список нерешенных задач: Открытые задачи математической физики

    Еще по этим темам:

    .
Оставить комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2019 Штирлиц Сеть печатных салонов в Перми

Цифровая печать, цветное и черно-белое копирование документов, сканирование документов, ризография в Перми.