Что такое положительные и отрицательные числа: определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное

Проект » Положительные и отрицательные числа»

Опубликовано Прусских Ольга Владимировна вкл 12.11.2020 — 10:00

Автор: 

Мохина Екатерина

Число является одним из главных понятий в математике. В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Но без знания прошлого нельзя понять настоящее.

Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось, обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие, с которым у людей возникало немало споров, особенно когда речь шла о нововведениях – появлении положительных и отрицательных величин.

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам, тем более признать их. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.

Рассмотрим историю их возникновения и развития, а также применение положительных и отрицательных чисел в разных сферах человеческой деятельности.

Цель: Изучить положительные и отрицательные числа: историю их возникновения и применение в разных сферах человеческой деятельности.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Понять суть положительных и отрицательных чисел.

3. Узнать о применении положительных и отрицательных чисел в разных сферах человеческой деятельности: медицине, физике, истории, географии и в повседневной жизни.

Актуальность:

любое число в жизни каждого человека играет важную роль, в том числе и отрицательное

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Положительные и отрицательные числа Выполнила: ученица 6 класса МАОУ « Боровинская СОШ» Мохина Екатерина, руководитель: Прусских О.В.

Слайд 2

После изучения темы «Положительные и отрицательные числа» на уроках математики мы задумались над вопросом: А встречаются ли отрицательные числа и на других уроках, и в жизни? Это и подтолкнуло нас к исследованию данной темы. Введение

Слайд 3

1)В каких учебных предметах, кроме математики, используются положительные и отрицательные числа? 2)Применяются ли в жизни эти числа? АНКЕТА

Слайд 4

любое число в жизни каждого человека играет важную роль, в том числе и отрицательное . АКТУАЛЬНОСТЬ Изучить положительные и отрицательные числа: историю их возникновения и применение в разных сферах человеческой деятельности цЕЛЬ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ Области применения положительных и отрицательных чисел в жизни человека . МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ: чтение и анализ используемой литературы и наблюдения.

Слайд 5

* Изучить литературу по данной теме. Задачи: * Понять суть положительных и отрицательных чисел. * Узнать о применении положительных и отрицательных чисел в разных сферах человеческой деятельности: медицине, физике, истории, географии и в повседневной жизни. отрицательные числа встречаются не только в математике, но и в других науках. гипотеза :

Слайд 6

Измерение высоты и глубины ещё с давних времен было интересно человеку . Отрицательные числа в географии : Записывать результаты измерения удобно с помощью положительных и отрицательных чисел.

Слайд 8

МОРСКИЕ ГЛУБИНЫ Измеряются с помощью отрицательных чисел

Слайд 9

Эверест— высочайшая вершина земного шара высотой по разным данным от +8844 до +8852 метров находится в Гималаях. ГОРА ЭВЕРЕСТ Имеет форму пирамиды; южный склон более крутой. Расположена на границе Непала и Китая, сама вершина лежит на территории Китая.

Слайд 10

Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н. Э.). Продолжается наша эра 2015 лет . Отрицательные числа в истории

Слайд 11

Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы, применяют рассеивающие (отрицательные) линзы . Отрицательные числа в биологии

Слайд 12

0 2 1 -1 — 2 3 — 3 4 5 6 7 8 9 10 Отрицательные числа в биологии

Слайд 13

С отрицательными числами мы сталкиваемся каждый раз, говоря о температуре воздуха. Если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом. Отрицательные числа в физике

Слайд 14

0 0 20 20 10 10 10 10 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 50 20 C тепла + 20 C о о 6 0 6 0 50 50

Слайд 15

0 0 20 20 10 10 10 10 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 50 1 0 C мороза — 1 0 C о о 6 0 6 0 50 50

Слайд 16

Скорость автомобилей, движущихся вправо, считать положительной, а влево , — отрицательной. Знак числа будет указывать направление скорости (движения) автомобилей. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА НА СКОРОСТНОМ ШОССЕ

Слайд 17

Понятие «положительного» и «отрицательного» заряда Тела, которые действуют на другие заряженные предметы так же, как стекло, наэлектризованное трением о шёлк Тела, которые действуют на другие заряженные предметы так же, как сургуч, наэлектризованный трением о шерсть Положительно заряженные атомы – протоны Отрицательно заряженные атомы – электроны

Слайд 18

Трением лапок о брюшко комар вызывает электричество Электрические заряды в природе

Слайд 19

При поглаживании кошки происходит электризация Электрические заряды в природе

Слайд 20

Заключение Работая над проектом, я осознала, что понять суть положительных и отрицательных чисел без истории их возникновения невозможно. Изучив историю возникновения положительных и отрицательных чисел, можно сказать, что причиной их появления явились практические нужды людей. Отрицательные числа появились значительно позже положительных. Отрицательными числами обычно обозначали долг. Работая с различными источниками, исследуя различные явления и процессы, я выяснила, что отрицательные и положительные числа широко используются в различных сферах деятельности человека. Данная тема является актуальной, находит широкое применение. Польза положительных и отрицательных чисел в науке и жизни человека разнообразна и велика. Цель, поставленная мною в начале выполнения работы, достигнута, задачи выполнены. .

Поделиться:

Проказы старухи-зимы

Астрономы получили первое изображение черной дыры

Мост Леонардо

Глупый мальчишка

Равноправие духа и тела

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Семенов Д.У. 1

---

1

Джамбаева Ф.

Н. 1

---

1

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение

Мир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?

В прошлом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитал, что отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел.

Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

В итоге я решил исследовать историю возникновения отрицательных чисел.

Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных и положительных чисел.

Объект исследования — отрицательные числа и положительные числа

История положительных и отрицательных чисел

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.

Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел. ..». Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».

(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = — (х + у)‏

(-х) + (+у) = — (х — у)‏ (-х) + (+у) = +(у — х)‏

0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000.

Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков «+» и «–» в древности не было ни для чисел, ни для действий.

Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как «недоступный». И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.

Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».

В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел – “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные – как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, — сказал Фибоначчи, — невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг». Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. (1637 г.).

Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах — числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-«.

(Например: термометр, шкала глубин и высот)

Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

Определение понятия числа

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.

Происхождение слов «плюс» и «минус»

Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».

Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

Современные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г. ). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания.

Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.

Отрицательные числа в Египте

Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Отрицательные числа в Древней Азии

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

Отрицательные числа в Европе

Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г. И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)

Современное истолкование отрицательных чисел

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.

Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « — » применил немецкий математик Видман. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.

Вывод

В своем работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Все эти множества чисел я постараюсь изучить.

Приложение

СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

Если уж захочется вам сложить

Числа отрицательные, нечего тужить:

Надо сумму модулей быстренько узнать,

К ней потом знак «минус» взять да приписать.

Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

Больший модуль быстро очень выбираем.

Из него мы меньший вычитаем.

Самое же главное – знак не позабыть!

— Вы какой поставите? – мы хотим спросить

— Вам секрет откроем, проще дела нет,

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

Правила сложения положительных и отрицательных чисел

Минус с минусом сложить,

Можно минус получить.

Если сложишь минус, плюс,

То получится конфуз?!

Знак числа ты выбирай

Что сильнее, не зевай!

Модули их отними,

Да все числа помири!

— Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга — мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага — мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага — мой враг»: + ∙ ─ = ─.

«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.

Знак умножения есть точка, в ней три знака:

Прикрой из них два, третий даст ответ.

Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

Список литературы

1. «История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.

2. «История математики в древности», Э. Кольман.

3. «Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.

4. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

5. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

6. Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира» учебник 5 класса, 2001г.

7. Википедия. Свободная энциклопедия.

8. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

9. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

10. Гельфман Э. Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

11. Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

12. Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

13. Глейзер Г. И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.

14. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

15. История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

16. История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

17. М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.

18. Малыгин К.А.

19. Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.

20. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г

21. Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

22. Фридман Л. М.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.

23. Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., — Томск: Издательство Томского университета, 1998г.

24. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика

17

Просмотров работы: 27428

Счет, математика и статистика — набор академических навыков

Положительные и отрицательные числа (психология)

ContentsToggle Главное меню 1 Введение 2 Примеры работы 3 Проверка себя 4 Внешние ресурсы

Введение

Положительные числа — это те, которые больше нуля. Отрицательные числа — это те, которые меньше нуля. Ниже приведена таблица, которая поможет вам запомнить, что делать со знаком при использовании умножения или деления, сложения или вычитания.

\begin{array}{ccccc} \text{Положительный} & \times / \div & \text{Положительный} & = & \text{Положительный} \\ \text{Отрицательный} & \times / \div & \ text{Отрицательный} & = & \text{Положительный} \\ \text{Положительный} & \times / \div & \text{Отрицательный} & = & \text{Отрицательный} \\ \text{Отрицательный} & \times / \div & \text{Положительный} & = & \text{Отрицательный} \\ \end{массив}

\begin{массив}{ccccc} + (-\text{Число}) &= -\text{Число} \\ — (+\text{Число}) &= -\text{Число} \\ + (+\text{Число}) &= +\text{Число} \\ — (-\text{Число}) & = +\text{Число} \\ \end{массив}

Для получения дополнительной информации см. положительные и отрицательные числа в нашем разделе «Счет».

Рабочие примеры

Сначала у нас есть рабочий пример сложения и вычитания отрицательных чисел.

Пример работы

В начале года вы открыли собственную клинику. Вам осталось потратить $\large\unicode{xA3}\normalsize 20,\!000$. Как и большинство вновь созданных предприятий, в первые месяцы вы несете убытки. В январе вы потеряли $\large\unicode{xA3}\normalsize4,\!500$, в феврале вы потеряли в три раза больше, чем в январе, а в марте вы потеряли вдвое меньше, чем в феврале. За это время вы получили три гранта размером $\large\unicode{xA3}\normalsize1,\!000$ каждый.

У вас уже есть овердрафт к концу марта? Если да, то насколько? Если нет, то сколько вам осталось потратить?

Решение

Сначала подсчитайте, сколько вы потеряли в феврале и марте:

В феврале: вы потеряли в три раза больше, чем в январе: $\large\unicode{xA3}\normalsize 4, \!500 \times 3 =\large\unicode{xA3}\normalsize 13,\!500$

‘ В марте: ‘ вы потеряли вдвое меньше, чем в феврале: $\large\unicode{xA3}\normalsize13 ,\!500 \div 2=\large\unicode{xA3}\normalsize6,\!750$

Ваши потери за этот период: $\large\unicode{xA3}\normalsize4,\!500+ \large\unicode{xA3}\normalsize13,\!500+ \large\unicode{xA3}\normalsize6,\! 750 = \large\unicode{xA3}\normalsize 24,\!750$. Но вы получаете всего три гранта: $\large\unicode{xA3}\normalsize1,\!000 \times 3 = \large\unicode{xA3}\normalsize3,\!000$. Следовательно, у вас есть: $\large\unicode{xA3}\normalsize20,\!000 + \large\unicode{xA3}\normalsize3,\!000 + (- \large\unicode{xA3}\normalsize24,\!750) = — \large\unicode{xA3}\normalsize1,\!750$ осталось на конец марта. Таким образом, к концу марта ваш овердрафт составит $\large\unicode{xA3}\normalsize1,\!750$.

Теперь у нас есть второй пример умножения/деления на отрицательные числа.

Рабочий пример

У администратора на столе есть диспенсер с водой, чтобы ожидающие могли выпить, пока ждут.

В настоящее время в баке 2500$млн. Администратор знает, что каждый день выпивается 500 миллионов долларов.

а) Насколько полным был бак $4$ дней назад?

б) Вы находитесь в жару и выпиваете в два раза больше воды. Хватит ли воды в дозаторе еще на 3$ дней?

Раствор

a)

Мы знаем, что количество воды в дозаторе меняется на -500$мл каждый день. Чтобы рассчитать количество в баке, мы вычитаем это количество $4$ раз (чтобы вернуться назад на $4$ дней).

Таким образом, общее изменение равно: $-4\times -500=2000$ml.

Следовательно, $4$ дня назад в баке было: $2500+2000=4500$мл.

b)

Ежедневное потребление воды удвоилось. Таким образом, общее изменение каждый день составляет $-1000 $млн.

Через $3$ дня мы можем подсчитать, что в баке будет: $2500 — 3\x 1000 = -500$мл в баке.

Следовательно, в дозаторе недостаточно воды, чтобы продержаться еще $3$ дней, так как число отрицательное.

Проверьте себя

Попробуйте наши тесты Numbas по фоновой математике.

Внешние ресурсы

• Сложение и вычитание отрицательных значений в математике — это весело.
• Умножение на минусы из Математики — это весело.

36.1: Положительные и отрицательные числа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

35088

• Иллюстративная математика
• Ресурсы OpenUp

Lesson

Давайте рассмотрим, как мы представляем температуры и высоты.

Упражнение \(\PageIndex{1}\): Внимание и удивление: Мемфис и Бангор

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Что вы заметили? Что вам интересно?

Упражнение \(\PageIndex{2}\): выше и ниже нуля

1. Вот три ситуации, связанные с изменением температуры. Представьте каждое изменение в апплете и нарисуйте его на числовой прямой. Затем ответьте на вопрос.
   1. В полдень температура была 5 градусов по Цельсию. К вечеру температура поднялась до 6 градусов по Цельсию. Какая температура была ближе к вечеру?
   2. В полночь температура была 8 градусов по Цельсию. К утру похолодало до 12 градусов тепла. Какая была температура на рассвете?
   3. Вода замерзает при 0 градусов по Цельсию, но температуру замерзания можно снизить, добавив в воду соль. Студент обнаружил, что добавление полстакана соли на галлон воды снижает ее температуру замерзания на 7 градусов по Цельсию. Какова температура замерзания галлона соленой воды?
2. Обсудите с партнером:
   1. Как вы назвали результирующую температуру в каждой ситуации? Вы оба называли каждую результирующую температуру одним и тем же именем или разными именами?
   2. Что означает, если результирующая температура выше 0 на числовой прямой? Что это значит, когда температура ниже 0?
   3. Имеют ли числа ниже 0 смысл вне контекста температуры? Если вы так думаете, приведите несколько примеров, чтобы показать, как они имеют смысл. Если вы так не думаете, приведите несколько примеров, чтобы показать обратное.

Упражнение \(\PageIndex{3}\): Высокие места, Низкие места

1. Вот таблица, в которой показаны высоты разных городов.

   город	высота (футы)
   Гаррисберг, Пенсильвания	\(320\)
   Бетелл, Индиана	\(1,211\)
   Денвер, Колорадо	\(5,280\)
   Коачелла, Калифорния	\(-22\)
   Долина Смерти, Калифорния	\(-282\)
   Нью-Йорк, штат Нью-Йорк	\(33\)
   Майами, Флорида	\(0\)

   
   Таблица \(\PageIndex{1}\)
   1. Какой город в списке городов занимает второе место по высоте?
   2. Как бы вы описали высоту Коачеллы, Калифорния, по отношению к уровню моря?
   3. Как бы вы описали высоту Долины Смерти, Калифорния, по отношению к уровню моря?
   4. Если вы стоите на пляже рядом с океаном, на какой высоте вы находитесь?
   5. Как бы вы описали высоту Майами, штат Флорида?
   6. Город расположен выше Коачеллы, Калифорния. Выберите все числа, которые могут представлять высоту города. Будьте готовы объяснить свои рассуждения.
      1. -11 футов
      2. -35 футов
      3. 4 фута
      4. -8 футов
      5. 0 футов
2. Вот две таблицы, в которых показаны высоты самых высоких точек на суше и самых низких точек в океане. Расстояния измеряются от уровня моря. Перетащите точки, обозначающие горы и траншеи, на вертикальную числовую линию и ответьте на вопросы.

   точка	гора	континент	высота над уровнем моря (метры)
   С	Эверест	Азия	\(8848\)
   Н	Килиманджаро	Африка	\(5895\)
   Е	Денали	Северная Америка	\(6,168\)
   А	Пикчу Пикчу	Южная Америка	\(5,664\)

   Таблица \(\PageIndex{2}\)

   точка	траншея	океан	высота над уровнем моря (метры)
   Ф	Марианская впадина	Тихоокеанский	\(-11,033\)
   Б	Пуэрто-Рико Желоб	Атлантика	\(-8,600\)
   Д	Желоб Тонга	Тихоокеанский	\(-10,882\)
   Г	Зондский желоб	Индийский	\(-7,725\)

   Таблица \(\PageIndex{3}\)
   1. Какая точка океана самая низкая в мире? Какова его высота?
   2. Какая гора самая высокая в мире? Какова его высота?
   3. Если вы нанесете высоты гор и траншей на вертикальную числовую линию, что будет обозначать 0? Что означают точки выше 0? Как насчет точек ниже 0?
   4. Что дальше от уровня моря: самая глубокая точка океана или вершина самой высокой горы в мире? Объяснять.

Готовы ли вы к большему?

Паук плетет паутину следующим образом:

• Начинается на уровне моря.
• В первую минуту он поднимается на один дюйм.
• Во вторую минуту он опускается на два дюйма.
• На третьей минуте он поднимается на три дюйма.
• На четвертой минуте он опускается на четыре дюйма.

Если предположить, что паттерн продолжается, какова будет высота паука по прошествии часа?

Сводка

Положительные числа — это числа, которые больше 0. Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Значение отрицательного числа в контексте зависит от значения нуля в этом контексте.

Например, если мы измеряем температуру в градусах Цельсия, то 0 градусов Цельсия соответствует температуре замерзания воды.

В этом контексте положительные температуры выше точки замерзания, а отрицательные температуры ниже точки замерзания. Температура -6 градусов Цельсия означает, что она на 6 градусов отличается от 0 и меньше 0. Этот термометр показывает температуру -6 градусов Цельсия.

Если температура поднимается на несколько градусов и становится очень близкой к 0 градусов, не достигая ее, температура остается отрицательным числом.

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Другим примером является высота, то есть расстояние выше или ниже уровня моря. Высота 0 относится к уровню моря. Положительные отметки выше уровня моря, а отрицательные отметки ниже уровня моря.

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Записи глоссария

Определение: Отрицательное число

Отрицательное число — это число меньше нуля. На горизонтальной числовой строке отрицательные числа обычно отображаются слева от 0.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Определение: положительное число

Положительное число — это число, большее нуля. На горизонтальной числовой строке положительные числа обычно отображаются справа от 0.

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Практика

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

1. Температура -11 градусов теплее или холоднее, чем температура -15 градусов?
2. Является ли высота -10 футов ближе или дальше от поверхности океана, чем высота -8 футов?
3. К вечеру было 8 градусов тепла. К полуночи температура упала на 10 градусов. Какая была температура в полночь?
4. Водолаз находится на глубине 25 футов ниже уровня моря. Какова будет его высота после того, как он подплывет на 15 футов к поверхности?

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

1. Кит находится на поверхности океана, чтобы дышать. Какова высота кита?
2. Кит плывет на 300 футов вниз, чтобы поесть. Какова сейчас высота кита?
3. Кит проплывает еще 150 футов. Какова сейчас высота кита?
4. Нанесите каждую из трех высот в виде точки на вертикальной числовой прямой. Пометьте каждую точку ее числовым значением.

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Объясните, как вычислить число, равное \(\frac{2.1}{1.5}\).

(из модуля 6.1.5)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Напишите уравнение для каждой ситуации, а затем решите уравнение.

1. Андре выпивает 15 унций воды, что составляет \(\frac{3}{5}\) бутылки. Сколько вмещает бутылка? Используйте \(x\) для количества унций воды в бутылке.
2. Бутылка вмещает 15 унций воды. Джада выпила 8,5 унций воды. Сколько унций воды осталось в бутылке? Используйте \(y\) для количества унций воды, оставшихся в бутылке.
3. Бутылка вмещает \(z\) унций воды. Вторая бутылка вмещает 16 унций, что в \(\frac{8}{5}\) раз больше воды. Сколько вмещает первая бутылка?

(из модуля 6.1.4)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Площадь прямоугольника равна 24 квадратных единиц, а длина стороны равна \(2\frac{3}{4}\) единиц. Найдите длину другой стороны прямоугольника. Покажите свои рассуждения.

(из модуля 4.4.2)

---

Эта страница под названием 36.1: Положительные и отрицательные числа распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Illustrative Mathematics посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.