Примеры на отрицательные и положительные числа: Сложение Чисел с Разными Знаками

Уравнения и примеры с отрицательными числами и модулями.

Все рациональные числа, которые мы можем себе представить, можно разделить на положительные и отрицательные. Изучается данная тема в 5-6 классах. Начиная с этих классов, учащиеся решают примеры, уравнения и задачи, в которых могут быть как положительные, так и отрицательные числа.

Решение примеров с отрицательными числами без ошибок — очень важный математический навык. То же самое касается и решения уравнений с отрицательными числами. В этом контексте в школьном курсе рассматривается и понятие модуля числа.

Давайте сегодня разберем эти вопросы.

Чтобы отличить положительное число от отрицательного, перед отрицательным числом ставят знак минус.

Например:

«5» – положительное число

«-5» — отрицательное число Если рассматривать числа на координатной прямой, то все числа, находящиеся слева от нуля, будут называться отрицательными, а числа, находящиеся справа от нуля – будут, соответственно, положительными.

Правила сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел имеют свои особенности.

Например, если нам необходимо выполнить действие:

«7 + 5»

Т.е. сложить два положительных числа, мы механически складываем их величины и получаем результат:

7 + 5 = 12

Если даже у нас будет длинный и трудоемкий пример, принцип его решения будет точно такой же, если числа положительные, то мы механически складываем их:

7 + 5 + 21 + 17 + 19 + 25 = 94

Операция вычитания может быть уже не такой простой.

Если выражение:

7 – 5 = 2

Мы вычисляем легко, то выражение:

5 – 7 = — 2

Это уже серьезная проверка наших знаний в области отрицательных чисел. Здесь важно в ответе правильно поставить знаки «плюс» и «минус».

Здесь перед числом «7» стоит знак «минус». Получается из меньшего числа «5» нужно вычесть большее число «7».

Как не запутаться?

Есть несколько способов. Один из которых вот какой:

Необходимо вспомнить понятие модуля числа.

Модуль числа – это число, записанное в вертикальных скобках:

|5| или |-7|

Когда мы выводим число из модуля, мы оставляем только его значение, а минус убираем:

|5| = 5

|-7| = 7

Записываем наше выражение для модулей этих чисел:

|5| – |7|

Такая запись позволяет нам определить, какое число большее «по модулю», т.е. по своему абсолютному значению, без учета знака «минус» перед числом и стоит правее на числовой оси.

В нашем случае, это число «7».

Поэтому мы из большего «по модулю» числа вычитаем меньшее «по модулю» число и в ответе ставим тот знак (плюс или минус), который стоял в выражении перед большим «по модулю» числом:

|5| – |7| = — |7 — 5| = — |2| = -2

Второй способ вот какой:

Запишем:

5 + (– 7)

Представим каждое слагаемое как выражение двух чисел, с умножением на «-1», получим:

5 = — 1 · (- 5)

— 7 = — 1 · 7

Теперь сложим эти выражения, как в нашем примере, получим:

5 + (– 7) = (- 1 · (- 5)) + (- 1 · 7)

Вынесем за скобки «-1»:

-1·(- 5 + 7) = -1·(7 – 5) = -1· 2 = — 2

Когда мы выносим за скобку «-1», мы получаем возможность вычитать из большего числа меньшее, что гораздо удобнее.

Теперь мы знаем, как решать примеры с отрицательными числами.

Умножение на «-1» помогает нам вспомнить правила умножения и деления, в выражениях с положительными и отрицательными числами. Вот эти правила:

«Если умножать «минус» на «плюс», то получается в ответе «минус».»

«А если умножать «минус» на «минус», то получается в ответе «плюс».»

Проиллюстрируем все возможные варианты применения этих правил:

5 · 7 = 35

5 · (– 7) = — 35

(- 5) · 7 = — 35

(- 5) · (– 7) = 35

Возьмем более сложный случай, вычислим:

7 · (- 5) · 21 · (- 17)

Чтобы было проще, выполним вычисления по действиям:

1) 7 · (- 5) = — 35

2) 21 · (- 17) = — 357

3) (- 35) · (-357) = 12495

Таким образом:

7· (- 5) · 21 · (- 17) = 12495

Теперь рассмотрим, как решать уравнения с отрицательными числами и переменными.

Возьмем пример с уравнением:

3 + 4(5 – х) = 15

Сначала раскроем скобки:

3 + 4 · 5 + 4 · (- х) = 15

Обязательно обращаем внимание на минусы, стоящие перед числами и переменной «х», помним о приведенном выше правиле, получаем:

3 + 20 – 4х = 15

Приведем подобные (3 + 20 = 23) и запишем:

23 – 4х = 15

Переносим слагаемое без переменной «х» из левой части в правую, меняя при этом перед ним знак на противоположный

— 4х = 15 – 23

После приведения подобных в правой части уравнения (15 – 23 = — 8), получим:

— 4х = — 8

Деление отрицательных чисел проводим по тем же правилам, что и умножение:

х = — 8 : (- 4)

«Минус» делим на «минус», получаем «плюс»:

х = 2

Давайте теперь разберем примеры с модулем числа.

Напомню, что, когда мы выводим число из модуля, мы оставляем только его значение, а минус убираем.

Например:

|5| + |-7| = 5 + 7 = 12

|5| — |-7| = 5 — 7 = — 2

|5| · |-7| = 5 · 7 = 35

|-35| : |-7| = 35 : 7 = 5

Как видите, в примерах, где числа стоят под знаком модуля, необходимо следовать правилу:

«Сначала раскрываем скобки модуля, а потом проводим операции сложения, вычитания, умножения или деления».

Конечно, существуют и более сложные примеры с отрицательными числами и модулями. Чтобы познакомиться с правилами их решения, а также вспомнить все, что необходимо, связанное с модулями — следите за нашими уроками или обратитесь к репетитору на нашем сайте.

Целые числа: положительные и отрицательные. Сравнение целых чисел

• Положительные и отрицательные числа
• Сравнение целых чисел

Целые числа — это положительные и отрицательные числа, не имеющие дробной части и число нуль.

Число  0  целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Ставить перед числом нуль какой-либо знак (+ или -) не имеет смысла, так как записи

+0,  -0  и  0

представляют собой одно и тоже число:

+0 = -0 = 0.

Положительные и отрицательные числа

Существуют величины, отсчёт которых производиться в двух противоположных направлениях.

Пример. Температура отсчитывается в двух противоположных направлениях от температуры тающего льда, принимаемой за нулевую:

1) Уровень ртути при нулевой температуре (температуре тающего льда).

2) Уровень ртути при температуре, более низкой, чем нулевая.

3) Уровень ртути при температуре, более высокой, чем нулевая.

Если мы имеем какую-либо величину, отсчёт которой производится в двух противоположных направлениях, то одно из направлений, безразлично какое, принято называть положительным, а другое отрицательным.

Положительное число — это число, полученное в результате измерения величины, отсчитанной в положительном направлении. Положительное число изображается в виде числа со знаком + (плюс) впереди. Например,  +16  — положительное число.

Пример.

16 °C тепла  или  +16 °C.

Примечание: все градусы пишутся с буквой  C (Цельсия),  знак градуса отделяется от числа пробелом. Например,  +7 °C.

Наименьшее целое положительное число – это  1  (единица).

Отрицательное число — это число, полученное в результате измерения величины, отсчитанной в отрицательном направлении. Отрицательное число изображается в виде числа со знаком

— (минус) впереди. Например,  -16  — отрицательное число.

Пример.

16 °C мороза  или  -16 °C.

Наибольшее целое отрицательное число – это  -1  (минус один).

Все числа, кроме нуля, записанные со знаком + (плюс) впереди, являются положительными, а записанные со знаком — (минус) — отрицательными.

Пример.

+1,  +15,  +57  и т. д. — положительные числа;

-1,  -15,  -57  и т. д. — отрицательные числа.

Положительные числа можно обозначать предшествующим знаком + (плюс) или опускать его. Числа, перед которыми не стоит знака (+ или -), считаются положительными числами. Например, вместо

+8,  +14,  +100  и т. д.

можно написать просто

8,  14,  100  и т. д.

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа — значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

… -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < …

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее, значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0;    15 > -16.

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

-7 < 0;    -357 < 0.

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее:

-31 < -28.

10 важных примеров положительных и отрицательных чисел в реальной жизни

Положительный или отрицательный знак перед числом имеет огромное значение. В то время как положительный подразумевает добавление, отрицательный подразумевает уменьшение. Эта идея упрощает выводы в ряде областей, таких как количество и направления. Эти примеры из реальной жизни заслуживают внимания.

Иногда полезно учиться на примерах из реальной жизни, так как ученики лучше обращают внимание на детали. Чтобы помочь ученикам в изучении положительных и отрицательных чисел, мы перечислили десять реальных приложений, которые вы, возможно, тщательно изучили, но не заметили значения этих чисел.

Зачем нужно знать положительные и отрицательные числа?

Каждый день мы используем несколько приложений с положительными и отрицательными числами. Понимание знака часто имеет решающее значение в таких ключевых областях, как авиация, судоходство, акции, транспорт и понимание статистики. Небольшая ошибка в знаке может создать грубую ошибку, которая может оказать существенное влияние. Соответственно, учащимся может понадобиться узнать причину «почему существуют эти числа?» и «Каковы применения этих положительных и отрицательных чисел?

Каково представление о положительных и отрицательных числах?

Цифры указывают количество или стоимость. Положительные и отрицательные значения могут указывать на сложение или вычитание. Если количество увеличивается, мы говорим, что определенное количество вещи прибавилось к предыдущему количеству, или наоборот, если оно уменьшается. Отрицательное число просто показывает снижение по сравнению с предыдущим состоянием или значением, а положительное число показывает приращение в предыдущем состоянии или значении. Например, годовой процент роста ВВП страны может быть отрицательным, что указывает на рецессию.

Вот несколько преимуществ положительных-отрицательных чисел:

1. Мы можем определять более широкий диапазон температур даже ниже нуля градусов, что помогает нам проводить многие химические реакции, требующие отрицательных температур.
2. Точное измерение высоты помогает выполнять полеты на более безопасном расстоянии в небе. (1000 футов друг от друга)
3. Часовые пояса по всему миру определяются путем добавления или вычитания часов из GMT.
4. Определение фокусных расстояний оптических линз для четкого зрения.
5. Положительная-отрицательная поляризация способствует прохождению заряда, что приводит к возникновению электрического тока.

Говоря не только о теоретической части, мы сталкиваемся с некоторыми примерами из реальной жизни, где мы ежедневно используем концепцию положительных и отрицательных чисел, даже не осознавая этого. Вот 10 реальных дискуссий о значении положительных и отрицательных чисел.

Где мы используем положительные и отрицательные числа в реальной жизни?

Числа, как положительные, так и отрицательные, видны почти повсюду вокруг нас. Мы можем их не замечать, но их значение в этих немногих областях очень важно. Вот несколько примеров из реальной жизни, которые могут помочь вам в идентификации:

1. Фондовая биржа

Фондовый рынок — это биржа, на которой можно купить или продать акции зарегистрированных на бирже компаний. Это центр финансовой деятельности в экономике. Оценки и изображения здесь охватывают как положительные, так и отрицательные числа.

Каждую секунду значение индекса колеблется, указывая на положительную или отрицательную тенденцию. Целое положительное число указывает на рост цен на акции, а знак минус означает снижение цен на акции.

Ваша прибыль и убытки также рассчитываются в виде положительных и отрицательных знаков. Например, если цена акции составляет 100 долларов, а на следующий день она поднимается до 110 долларов, акция считается положительной с 10-процентным увеличением.

2. Измерение температуры

Измерение температуры может быть примечательным примером в повседневной жизни, где мы используем положительные и отрицательные числа. Отчеты о погоде показывают, является ли температура места высокой или низкой с точки зрения положительных и отрицательных знаков, прежде чем указывать числовое значение температуры.

В странах у экватора температура выше, а у близлежащих полюсов температура выше нуля. Отрицательная температура является четким индикатором температуры ниже точки замерзания. Например, температура в ОАЭ составляет 45°C, что указывает на то, что там будет жаркий климат. С другой стороны, температура арктического региона составляет -25°C, а значит, будет холодно.

3. Высота

Высота указывает расстояние от уровня моря. Проще говоря, это означает, насколько высоко или низко находится объект от верхней части морского дна. Считайте уровень моря началом линии числа высоты, точно так же, как 0 является началом линии числа счета.

По мере увеличения высоты над уровнем моря к небу числа становятся положительными. Когда высота падает ниже уровня моря, числа становятся отрицательными. Хотя высота может быть отрицательной, она записывается как «X футов ниже уровня моря» вместо -x футов над уровнем моря.

4. Широта и долгота

Широта и долгота являются важными географическими ориентирами. Широта говорит, как далеко к северу или югу от экватора места, а долгота говорит, как далеко к востоку или западу от нулевого меридиана. Он основан на системе сетки широты и долготы Земли, которая делит земной шар с севера на юг на две зоны и с востока на запад на четыре зоны. Система сетки позволяет путешественникам найти дорогу из точки А в точку Б.

Воображаемые линии широты и долготы были проведены вокруг земной поверхности для определения точного местоположения. Середина земли определялась как экватор или 0 градусов. Северный полюс обозначается как 90°, а Южный полюс обозначается как -90°. Следовательно, широта, показанная в северном полушарии, имеет положительные значения, а значения широты в южном полушарии отрицательны. Долготы колеблются от 0° на нулевом меридиане, который проходит через Лондон, Великобритания, до ±180° на антимеридиане в Тихом океане.

5. Лифты (лифты)

Мы пользуемся лифтами каждый день. Это вертикальная транспортная среда, которая помогает нам перемещаться между несколькими этажами/этажами здания. Здесь первый этаж обозначен как нулевой. В то время как верхние этажи отмечены как 1,2,3, подвал и парковка обычно отмечены как -1, -2 и -3 и так далее.

Наблюдая за этим в большинстве общественных мест и зданий, мы часто сталкиваемся с повседневным примером использования положительных и отрицательных чисел.

6. Банковские выписки

Когда вы проверяете свои банковские выписки или транзакции, перед некоторыми транзакциями стоит знак +, а перед другими — знак. Положительный знак указывает на то, что деньги депонированы или зачислены на счет. С другой стороны, отрицательный знак указывает на дебет, то есть деньги были отправлены кому-то другому.

Для простоты понимания зачисленные деньги или проценты обозначаются знаком плюс, а знак минус/минус обозначает дебет и начисления. Просматривая банковскую выписку, можно легко наблюдать эти цифры.

7. Понимание статистики 

Нам нужно изучить положительные и отрицательные целые числа, чтобы сделать определенный результат из статистических данных. Например, расчет общей численности населения в конкретной стране потребует оценки иммигрантов, эмигрантов и постоянного населения. Затем нам нужно сложить иммигрантов и постоянное население и вычесть из него эмигрантов. Должностным лицам может потребоваться сложить отрицательное и положительное население, чтобы выполнить расчеты населения и разработать политику для вашей страны.

8. Спорт

Многие индикаторы спортивных событий требуют отображения отрицательных значений.

• В бейсболе дифференциал ранов отрицателен, если команда отдает больше ранов, чем они забили сами.
• Прирост ярдов в футболе может быть положительным или отрицательным.

• Гонщикам Формулы-1 может быть дано время прохождения круга или сектора, например, рекордного круга или только что пройденного круга. Число положительное, если водитель проехал круг в более медленном темпе, и отрицательное, если в более быстром темпе.
  

9. Экзаменационные баллы MCQ (с отрицательной оценкой)

Экзамены MCQ обычно являются способом оценки знаний по предмету. Некоторые из этих тестов также могут снижать оценку за каждый неправильный ответ. Следовательно, учащиеся также могут получить отрицательное число. Таким образом, сумма отрицательных оценок превышает положительные оценки, и тогда чистый прирост баллов становится отрицательным. Это может быть неприятным событием для студента.

10. Рейтинг музыкальных чартов — рейтинг Billboard/Spotify

Музыкальные чарты или рейтинги видео публикуются на Billboard каждую неделю. Повышение ранга обозначается знаком плюс перед песней. Целочисленное значение указывает, на сколько рангов поднялась песня. Если песня опускается в рейтинге, вы можете увидеть отрицательный знак рядом с песней с целым числом, которое показывает, что рейтинг песни снизился.

Подведение итогов,

Растет потребность в понимании положительных и отрицательных чисел, поскольку они необходимы в математике, технике, бизнесе, авиации и других смежных областях. Кроме того, положительные и отрицательные числа важны, потому что они позволяют сравнивать и диверсифицировать числовые данные. Отрицательные числа часто дополняют описание различных величин.

Несмотря на то, что существует множество реальных приложений, мы перечислили наиболее распространенные варианты, свидетелями которых могли быть многие люди. Ознакомьтесь с ними, чтобы привить вашему малышу важность положительных и отрицательных чисел.

В чем разница между положительными и отрицательными числами?

Алгебра — это специальный раздел математики, который используется для работы с арифметическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение или деление, и соответствующими символами, также известными как переменные. Переменные не фиксируются и меняют свое значение. Некоторыми примерами переменных являются x, y и z.

Ноль

Ноль имеет уникальное отличие: он не содержит ни положительного, ни отрицательного значения. Ноль отделяет положительные числа от отрицательных. Отрицательные числа лежат слева от числовой строки и обозначаются как –4, –3, –2, –1, 0, а положительные числа – 1, 2, 3, 4.

Положительные числа

Положительные числа — это целые числа, которые больше нуля. Положительные числа бесконечны. Другими словами, любое число выше нуля считается положительным числом. Положительные числа лежат справа от числовой прямой. Например, сбережения являются положительными. Положительные числа могут включать в себя рациональные числа, иррациональные числа или комплексные числа. Положительные числа увеличиваются по величине по мере удаления от числовой прямой.

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это целые числа, которые меньше нуля. Другими словами, любое число меньше нуля считается отрицательным числом. Отрицательные числа лежат слева от числовой прямой. Например, кредиты отрицательные. Отрицательные числа могут включать рациональные числа, иррациональные числа или комплексные числа. Отрицательные числа уменьшаются по величине по мере удаления от числовой прямой.

Следующая диаграмма может использоваться для иллюстрации положительных и отрицательных чисел на числовой прямой: 

Следующая таблица иллюстрирует различия между отрицательными и положительными числами соответственно:

Отрицательные числа	Положительные номера
Менее 0
Менее 0
меньше 0
. слева от числовой строки	Расположено справа от числовой строки
Пример: -1,-2.. и т. д.	Пример: 1,2,3.. и т. д.

Свойства положительных и отрицательных чисел

• У каждого положительного числа есть равный и противоположный отрицательный аналог.
• Каждое отрицательное число можно рассматривать как отрицание положительного числа.

Преобразование положительных и отрицательных чисел

Положительные числа можно преобразовать в отрицательные, умножив на значение -1, и наоборот. Это умножение используется для достижения отрицания соответствующего аналога.

Например, преобразовать 5 в отрицательное число можно следующим образом: 

5 × (-1) = -5 , что является отрицательным числом

: 

-8 × (-1) = 8, что является положительным числом

Примеры задач

Вопрос 1. Равны ли значения положительных и отрицательных чисел?

Решение: 

Да, поскольку каждое положительное число имеет равное и противоположное отрицательное значение. Следовательно, положительные и отрицательные числа равны по значениям.

Вопрос 2. Назовите некоторые применения отрицательных чисел.